Q3[2.0]. Determine o valor da integral ∫ 1 −1 ∫ √1−y2 0 ∫ x 0 (x2 + y2)dzdxdy em coordenadas ciĺındricas.

Para resolver essa integral em coordenadas cilíndricas, vamos fazer a substituição de variáveis. Primeiro, vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. A função a ser integrada é (x^2 + y^2)z. Em coordenadas cilíndricas, temos: x = rcosθ y = rsenθ z = z Agora, vamos calcular os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Para x, temos -1 ≤ x ≤ 1. Substituindo x em coordenadas cilíndricas, temos: -1 ≤ rcosθ ≤ 1 Dividindo todos os termos por r, obtemos: -cosθ ≤ 1/r ≤ cosθ Para y, temos 0 ≤ y ≤ √(1 - x^2). Substituindo y em coordenadas cilíndricas, temos: 0 ≤ rsenθ ≤ √(1 - (rcosθ)^2) 0 ≤ rsenθ ≤ √(1 - r^2cos^2θ) 0 ≤ rsenθ ≤ √(1 - r^2cos^2θ) Para z, temos 0 ≤ z ≤ x. Substituindo z em coordenadas cilíndricas, temos: 0 ≤ z ≤ rcosθ Agora, vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas. O Jacobiano em coordenadas cilíndricas é dado por r. A integral em coordenadas cilíndricas fica: ∫∫∫ (r^3cos^2θ + r^3sen^2θ) r dz dr dθ Agora, podemos resolver a integral. Primeiro, vamos integrar em relação a z: ∫∫ (r^3cos^2θ + r^3sen^2θ) z | de 0 a rcosθ dz dr dθ ∫∫ r^4cos^2θ + r^4sen^2θ dr dθ Agora, vamos integrar em relação a r: ∫ (1/5)r^5cos^2θ + (1/5)r^5sen^2θ | de 0 a 1 dr dθ (1/5)cos^2θ + (1/5)sen^2θ dθ Por fim, vamos integrar em relação a θ: (1/5)∫ cos^2θ dθ + (1/5)∫ sen^2θ dθ (1/5)(θ/2 + (1/4)sen(2θ)) | de 0 a 2π Substituindo os limites de integração, temos: (1/5)(2π/2 + (1/4)sen(2π) - (0/2 + (1/4)sen(0))) (1/5)(π + 0 - 0) π/5 Portanto, o valor da integral em coordenadas cilíndricas é π/5.