Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta. (a) (1, 0 ponto)O Conjunto A = {t3, t2 − 2,−t+ 4, 5} é uma base de ...

Vamos analisar cada afirmação: (a) O Conjunto A = {t^3, t^2 - 2, -t + 4, 5} é uma base de P3(R). Para verificar se um conjunto é uma base de um espaço vetorial, precisamos verificar duas condições: linearmente independente e gerador do espaço. - Linearmente independente: Para verificar se o conjunto é linearmente independente, devemos verificar se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Ou seja, se a única forma de obter a combinação linear nula é atribuindo coeficientes iguais a zero para cada vetor do conjunto. Neste caso, devemos verificar se a única solução para a equação a(t^3) + b(t^2 - 2) + c(-t + 4) + d(5) = 0 é a = b = c = d = 0. - Gerador do espaço: Para verificar se o conjunto gera o espaço P3(R), devemos verificar se qualquer vetor do espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, se para qualquer vetor p(t) em P3(R), existe uma combinação linear dos vetores do conjunto que resulta em p(t). (b) W = {(x, y, z) ∈ R^3 / x + y = 0 e z - 2y = 0} é um subespaço de R^3. Para verificar se W é um subespaço de R^3, devemos verificar três condições: contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. - Contém o vetor nulo: Devemos verificar se o vetor nulo (0, 0, 0) pertence a W. - Fechado sob adição: Devemos verificar se a soma de dois vetores quaisquer de W resulta em um vetor que também pertence a W. - Fechado sob multiplicação por escalar: Devemos verificar se a multiplicação de um vetor qualquer de W por um escalar resulta em um vetor que também pertence a W. Espero ter ajudado!