(4) (Valor 1,5) Calcule ∂f∂s e ∂f ∂t quando f(x, y) = x 2−2xy+y2, e x = 2 cos(2t+4) e x = 2 sen(2t + 4) Calcular ∂f/∂s; Calcular ∂f/∂t.

Para calcular ∂f/∂s, devemos derivar a função f em relação a s, mantendo y constante. Vamos começar encontrando as derivadas parciais de f em relação a x e y: ∂f/∂x = 2x - 2y ∂f/∂y = -2x + 2y Agora, vamos substituir as expressões dadas para x em termos de s e t: x = 2cos(2t + 4) x = 2sen(2t + 4) Podemos substituir essas expressões em ∂f/∂x e ∂f/∂y: ∂f/∂x = 2(2cos(2t + 4)) - 2(2sen(2t + 4)) ∂f/∂y = -2(2cos(2t + 4)) + 2(2sen(2t + 4)) Simplificando essas expressões, temos: ∂f/∂x = 4cos(2t + 4) - 4sen(2t + 4) ∂f/∂y = -4cos(2t + 4) + 4sen(2t + 4) Portanto, ∂f/∂s = ∂f/∂x * dx/ds + ∂f/∂y * dy/ds. Como s não está presente nas expressões dadas para x e y, dx/ds e dy/ds serão iguais a zero. Portanto, ∂f/∂s = 0. Para calcular ∂f/∂t, vamos usar as mesmas derivadas parciais de f em relação a x e y: ∂f/∂x = 2x - 2y ∂f/∂y = -2x + 2y Substituindo as expressões dadas para x em termos de t: x = 2cos(2t + 4) x = 2sen(2t + 4) Podemos substituir essas expressões em ∂f/∂x e ∂f/∂y: ∂f/∂x = 2(2cos(2t + 4)) - 2(2sen(2t + 4)) ∂f/∂y = -2(2cos(2t + 4)) + 2(2sen(2t + 4)) Simplificando essas expressões, temos: ∂f/∂x = 4cos(2t + 4) - 4sen(2t + 4) ∂f/∂y = -4cos(2t + 4) + 4sen(2t + 4) Portanto, ∂f/∂t = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt. Substituindo as expressões dadas para x e y em termos de t, temos: ∂f/∂t = (4cos(2t + 4) - 4sen(2t + 4)) * (-2sen(2t + 4)) + (-4cos(2t + 4) + 4sen(2t + 4)) * (2cos(2t + 4)) Simplificando essa expressão, temos: ∂f/∂t = -8sen(2t + 4)cos(2t + 4) + 8sen(2t + 4)cos(2t + 4) Portanto, ∂f/∂t = 0.