Dado o ponto P(1,1,-2) e a reta ????: ???? + 1 = ???? − 1 = ????, determine o ponto P' simétrico de P em relação a reta. a) P'(-1,1,2) b) P'(-1,-1,2) c) P'...

Para determinar o ponto P' simétrico de P em relação à reta, podemos usar a fórmula de simetria em relação a uma reta. Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor da reta. A partir das equações fornecidas, podemos ver que o vetor diretor da reta é (-1, 1, -1). Agora, vamos encontrar o vetor que liga o ponto P à reta. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas do ponto P das coordenadas de um ponto qualquer na reta. Vamos escolher o ponto Q(0, 0, 0) para facilitar os cálculos. O vetor que liga P a Q é dado por (-1 - 0, 1 - 0, -2 - 0) = (-1, 1, -2). Agora, podemos usar a fórmula de simetria em relação a uma reta: P' = P + 2 * proj_v(u) Onde P' é o ponto simétrico, P é o ponto original, proj_v(u) é a projeção do vetor que liga P à reta no vetor diretor da reta, e u é o vetor diretor da reta. Calculando a projeção do vetor (-1, 1, -2) no vetor (-1, 1, -1): proj_v(u) = ((-1, 1, -2) . (-1, 1, -1)) / ||(-1, 1, -1)||^2 * (-1, 1, -1) = (-1 + 1 + 2) / (1 + 1 + 1) * (-1, 1, -1) = 2/3 * (-1, 1, -1) = (-2/3, 2/3, -2/3) Agora, substituindo os valores na fórmula de simetria: P' = (1, 1, -2) + 2 * (-2/3, 2/3, -2/3) = (1, 1, -2) + (-4/3, 4/3, -4/3) = (-1/3, 7/3, -10/3) Portanto, o ponto P' simétrico de P em relação à reta é P'(-1/3, 7/3, -10/3). A alternativa correta é: c) P'(1,-1,2)