mostre que um conjunto a ⊂ r é aberto se, e somente se, a ∩ x ⊂

Topologia

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UFC

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Glaydson Camelo

22/05/2023

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Ed

22.05.2023

Para mostrar que um conjunto A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩ x ⊂ A é necessário provar duas condições: 1. Se A é aberto, então A ∩ x ⊂ A: Se A é aberto, então para cada ponto a ∈ A, existe um raio r > 0 tal que o conjunto B(a, r) = {x ∈ R | d(x, a) < r} está contido em A. Se tomarmos um ponto x ∈ A ∩ x, então d(x, a) < r para algum a ∈ A. Portanto, x ∈ B(a, r) ⊂ A, o que implica que A ∩ x ⊂ A. 2. Se A ∩ x ⊂ A, então A é aberto: Seja a ∈ A. Como A ∩ x ⊂ A, temos que a ∈ A ∩ x. Portanto, existe um raio r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A ∩ x ⊂ A. Logo, A é aberto. Assim, concluímos que um conjunto A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩ x ⊂ A.

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