10. Mostre que um conjunto A⊂R é aberto se, e somente se, A∩X⊂(A∩X) para todo X⊂R .
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Glaydson Camelo
22/05/2023

Question

10.	Mostre que um conjunto  A⊂R  é aberto se, e somente se, A∩X⊂(A∩X)   para todo X⊂R  .

Ed · Answer

Para mostrar que um conjunto A⊂R é aberto se, e somente se, A∩X⊂(A∩X) para todo X⊂R, podemos utilizar a definição de conjunto aberto.

Se A é um conjunto aberto, então para todo ponto x∈A, existe um raio r>0 tal que o conjunto B(x,r) = {y∈R : d(x,y)0 tal que B(x,r)⊂(A∩X). Isso significa que existe um raio r>0 tal que B(x,r)⊂A. Logo, A é um conjunto aberto.

Por outro lado, se A é um conjunto aberto, então para todo ponto x∈A, existe um raio r>0 tal que B(x,r)⊂A. Seja X⊂R. Se x∈A∩X, então x∈A e x∈X. Como A é aberto, existe um raio r>0 tal que B(x,r)⊂A. Além disso, temos que B(x,r)∩X⊂A∩X. Portanto, A∩X é aberto.

Assim, concluímos que um conjunto A⊂R é aberto se, e somente se, A∩X⊂(A∩X) para todo X⊂R.

10. Mostre que um conjunto A⊂R é aberto se, e somente se, A∩X⊂(A∩X) para todo X⊂R .

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