1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial aplicando el método de los coeficientes indeterminados 2'' 2 +=+ xyy

Para resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados, primeiro precisamos encontrar a solução complementar da equação homogênea associada. A equação homogênea é dada por: 2'' - 2y' + y = 0 A solução característica dessa equação é dada por: r^2 - 2r + 1 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos uma raiz dupla r = 1. Portanto, a solução complementar é da forma: yc = (C1 + C2x)e^x Agora, vamos encontrar a solução particular da equação original. Como a equação não possui termos seno ou cosseno, podemos assumir uma solução particular da forma: yp = Ax^2 + Bx + C Substituindo essa solução na equação original, temos: 2(2Ax + B) - 2(A + Bx + C) + (Ax^2 + Bx + C) = x Simplificando e agrupando os termos, temos: (2A - 2C + A)x^2 + (2B - 2A + B)x + (2B - 2C + C) = x Igualando os coeficientes de cada potência de x, temos o seguinte sistema de equações: 2A - 2C + A = 0 2B - 2A + B = 0 2B - 2C + C = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos A = 1/2, B = 1/4 e C = -1/2. Portanto, a solução particular é dada por: yp = (1/2)x^2 + (1/4)x - 1/2 A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular: y = yc + yp = (C1 + C2x)e^x + (1/2)x^2 + (1/4)x - 1/2 Essa é a solução geral da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes indeterminados.