Classes de congruência módulo n
Sistemas completos de restos correspondem a outro conceito dentro da aritmética modular que possibilita a exploração de novos resultados. Considerando Sm = 0, 1, 2, ..., m -1 um sistema completo de restos módulo m, leia as assertivas a seguir:
I) Os números de qualquer sequência de m inteiros do tipo ｛a, a + 1, a + 2, ..., a + (m -1)｝ são congruentes módulo m.
II) Quaisquer m inteiros consecutivos constituem um sistema completo de restos módulo m.
III) Se o MDC(a, m) = 1, então aSm = {0, a, 2a, 3a, ..., (m – 1)a} é um sistema completo de restos módulo m.
IV) Para x, y ∈ Sm quaisquer e aSm = {0, a, 2a, 3a, ..., (m – 1)a}, tem-se que ax ≡ ay (mod m) → x ≠ y.
Quais estão corretas?
A. I e II.
B. II e IV.
C. I, II e III.
D. II, III e IV.
E. II e III.
💡 1 Resposta
Camila Morais
As assertivas corretas são alternativa B, II e IV.
A assertiva I não é verdadeira, pois a sequência ｛a, a + 1, a + 2, …, a + (m -1)｝ pode conter números que não pertencem ao conjunto Sm.
A assertiva III é verdadeira, pois aSm contém m elementos e todos eles são distintos, pois se ax ≡ ay (mod m), então m | (ax - ay), o que implica que m | a(x - y). Como MDC(a, m) = 1, segue que m | (x - y), o que implica que x = y.
A assertiva IV é verdadeira, pois se ax ≡ ay (mod m), então m | (ax - ay), o que implica que m | a(x - y). Como Sm é um sistema completo de restos módulo m, segue que m | (x - y), o que implica que x = y.
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