Sejam as matrizes A= [1 a b 2 2 c 3 2 1] e B= [2 1 2 d 1 1 e f 1], com a,b,c,d,e,f reais. A matriz A é simétrica e a Matriz B é triangular superior. Determine o valor de 2(A+B)T.

Question

Sejam as matrizes A= [1 a b 2 2 c 3 2 1] e B= [2 1 2 d 1 1 e f 1], com a,b,c,d,e,f reais. A matriz A é simétrica e a Matriz B é triangular superior...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos primeiro entender as propriedades das matrizes A e B.

1. **Matriz A**: A matriz A é simétrica, o que significa que A[i][j] = A[j][i]. Portanto, temos:
   - A[1][2] = a e A[2][1] = a (ok)
   - A[1][3] = b e A[3][1] = b (ok)
   - A[2][3] = c e A[3][2] = c (ok)

A matriz A fica assim:
   $$
   A = \begin{bmatrix}
   1 & a & b \
   a & 2 & c \
   b & c & 1
   \end{bmatrix}
   $$

2. **Matriz B**: A matriz B é triangular superior, o que significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Portanto, temos:
   - B[3][1] = 0 e B[3][2] = 0, logo, f = 0 e e = 0.
   - A matriz B fica assim:
   $$
   B = \begin{bmatrix}
   2 & 1 & 2 \
   d & 1 & 1 \
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

3. **Soma das Matrizes A e B**:
   $$
   A + B = \begin{bmatrix}
   1 + 2 & a + 1 & b + 2 \
   a + d & 2 + 1 & c + 1 \
   b + 0 & c + 0 & 1 + 1
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   3 & a + 1 & b + 2 \
   a + d & 3 & c + 1 \
   b & c & 2
   \end{bmatrix}
   $$

4. **Transposta de (A + B)**:
   $$
   (A + B)^T = \begin{bmatrix}
   3 & a + d & b \
   a + 1 & 3 & c \
   b + 2 & c + 1 & 2
   \end{bmatrix}
   $$

5. **Multiplicando por 2**:
   $$
   2(A + B)^T = 2 \cdot \begin{bmatrix}
   3 & a + d & b \
   a + 1 & 3 & c \
   b + 2 & c + 1 & 2
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   6 & 2(a + d) & 2b \
   2(a + 1) & 6 & 2c \
   2(b + 2) & 2(c + 1) & 4
   \end{bmatrix}
   $$

Portanto, o valor de $ 2(A + B)^T $ é:
$$
\begin{bmatrix}
6 & 2(a + d) & 2b \
2(a + 1) & 6 & 2c \
2(b + 2) & 2(c + 1) & 4
\end{bmatrix}
$$

Ed · Answer

Para resolver essa questão, primeiro precisamos calcular a matriz resultante da soma A + B e depois calcular a transposta dessa matriz.

Dadas as matrizes A e B:
A = $$\begin{matrix} 1 & a & b \ 2 & 2 & c \ 3 & 2 & 1 \end{matrix}$$
B = $$\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \ d & 1 & 1 \ e & f & 1 \end{matrix}$$

Vamos somar as matrizes A e B:
A + B = $$\begin{matrix} 1+2 & a+1 & b+2 \ 2+d & 2+1 & c+1 \ 3+e & 2+f & 1+1 \end{matrix}$$
A + B = $$\begin{matrix} 3 & a+1 & b+2 \ 2+d & 3 & c+1 \ 3+e & 2+f & 2 \end{matrix}$$

Agora, vamos multiplicar essa matriz por 2:
2(A + B) = 2 * $$\begin{matrix} 3 & a+1 & b+2 \ 2+d & 3 & c+1 \ 3+e & 2+f & 2 \end{matrix}$$
2(A + B) = $$\begin{matrix} 6 & 2(a+1) & 2(b+2) \ 2(2+d) & 6 & 2(c+1) \ 2(3+e) & 2(2+f) & 4 \end{matrix}$$
2(A + B) = $$\begin{matrix} 6 & 2a+2 & 2b+4 \ 4+2d & 6 & 2c+2 \ 6+2e & 4+2f & 4 \end{matrix}$$

Por fim, vamos calcular a transposta dessa matriz:
(2(A + B))$^T$ = $$\begin{matrix} 6 & 4+2d & 6+2e \ 2a+2 & 6 & 4+2f \ 2b+4 & 2c+2 & 4 \end{matrix}$$

Portanto, o valor de 2(A+B)$^T$ é:
$$\begin{matrix} 6 & 4+2d & 6+2e \ 2a+2 & 6 & 4+2f \ 2b+4 & 2c+2 & 4 \end{matrix}$$

Ed · Answer

Primeiro, vamos calcular a matriz (A+B):
```
A + B = [1+a+2  b+1  2+2  2+d
         2+1    c+1  3+e  f+1
         2      2    1    1   ]
```
Agora, vamos calcular 2(A+B)T:
```
2(A+B)T = 2 * [1+a+2  b+1  2+2  2+d
              2+1    c+1  3+e  f+1
              2      2    1    1   ]T
        = 2 * [5  3  4
                b+1  c+2  2
                4  3+e  1
                2+d  f+1  1]
        = [10  6  8  4+2d
           2b+2  4+2c  6+2e  2f+2
           8  6+2e  2  2
           4+2d  2f+2  2  2]
```
Portanto, o valor de 2(A+B)T é:
```
[10  6  8  4+2d
 2b+2  4+2c  6+2e  2f+2
 8  6+2e  2  2
 4+2d  2f+2  2  2]
```

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