Cargas elétricas se encontram distribuídas numa região do espaço delimitada por dois planos paralelos infinitos localizados a uma distância d. Cons...

Para determinar o campo elétrico gerado pela distribuição de cargas nos pontos internos aos planos, podemos utilizar a Lei de Gauss na forma diferencial. A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica contida dentro dessa superfície. Considerando que a densidade volumétrica de carga é dada por ρ(ξ) = ρ0ξ, onde ξ é a coordenada do eixo perpendicular aos planos e ρ0 é uma constante, podemos escrever a carga contida em um elemento de volume dV como dQ = ρ(ξ)dV = ρ0ξdV. Vamos considerar um cilindro de altura h e área da base A, com uma das bases coincidindo com um dos planos paralelos infinitos. O fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro é nulo, pois o campo elétrico é constante em x=0. Portanto, o fluxo elétrico total através das bases do cilindro é igual ao fluxo elétrico através de uma superfície plana. Pela simetria do problema, o campo elétrico gerado pelas cargas será perpendicular aos planos paralelos infinitos. Assim, podemos escolher uma superfície gaussiana plana perpendicular aos planos, com área A, para aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é dado por Φ = E * A, onde E é o campo elétrico e A é a área da superfície gaussiana. Pela Lei de Gauss, temos que Φ = Q/ε0, onde Q é a carga contida dentro da superfície gaussiana e ε0 é a constante elétrica do vácuo. A carga contida dentro da superfície gaussiana é dada por Q = ∫ρ(ξ)dV, onde a integral é realizada sobre o volume delimitado pela superfície gaussiana. Substituindo a expressão da densidade volumétrica de carga, temos Q = ∫ρ0ξdV. Considerando que ξ varia de 0 a h, e que dV = Adξ, podemos escrever a integral como Q = ∫ρ0ξAdξ. Integrando, temos Q = ρ0A∫ξdξ = ρ0A(ξ^2/2)|0^h = ρ0Ah^2/2. Substituindo o valor de Q na expressão do fluxo elétrico, temos Φ = Q/ε0 = (ρ0Ah^2/2)/ε0. Porém, sabemos que Φ = E * A, então podemos escrever E * A = (ρ0Ah^2/2)/ε0. Dividindo ambos os lados da equação por A, temos E = (ρ0h^2/2ε0). Portanto, o campo elétrico gerado pela distribuição de cargas nos pontos internos aos planos é dado por E = (ρ0h^2/2ε0).