Using the al-Khwarizmi geometric process, determine the roots of each of the following equations of degree with one unknown in the set of real numb...

Question

Using the al-Khwarizmi geometric process, determine the roots of each of the following equations of degree with one unknown in the set of real numbers: a) x2 + 2x - 15 = 0 b) x2 + 4x 12 = 0 c) + 12x + 32 = 0 d) + 6x 7 = 0 e) = 0 f) x2 + 2x + 1 g) x2 + 2x - 3 h) + 10x + 25 = 0 i) - 10x + 21 = 0 j) 10x + 16 = 0 k) 3x2 2x - 1 I) 10x2 + 7x + 1 = 0

Ed · Answer

O processo geométrico de al-Khwarizmi é uma técnica antiga para encontrar raízes de equações quadráticas. Para usá-lo, siga os seguintes passos:

1. Escreva a equação na forma padrão: ax² + bx + c = 0
2. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "a + b".
3. Divida o quadrado em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "a".
4. Desenhe um retângulo com lados de comprimento "b" e "c" dentro do quadrado maior, de modo que um lado esteja ao longo da borda do quadrado maior e o outro lado esteja ao longo da borda de um dos quadrados menores.
5. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "b/2".
6. Coloque o quadrado menor no canto inferior direito do retângulo, de modo que um lado esteja ao longo da borda do retângulo e o outro lado esteja ao longo da borda do quadrado menor.
7. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior.
8. Essa linha reta intersecta o lado superior do quadrado maior em um ponto que é a solução da equação quadrática.

Usando esse processo, podemos encontrar as raízes das equações dadas:

a) x² + 2x - 15 = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 2 = 3". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "2" e "-15" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha intersecta o lado superior do quadrado maior em dois pontos, que são as soluções da equação: x = 3 e x = -5.

b) x² + 4x + 12 = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 4 = 5". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "4" e "12" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "2". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha não intersecta o lado superior do quadrado maior, o que significa que a equação não tem soluções reais.

c) 3x² + 12x + 32 = 0
Divida toda a equação por 3 para obter x² + 4x + 32/3 = 0. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 4 = 5". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "4" e "32/3" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "2". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha não intersecta o lado superior do quadrado maior, o que significa que a equação não tem soluções reais.

d) 6x² + 7x = 0
Divida toda a equação por x para obter 6x + 7 = 0 ou x = -7/6.

e) x² = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 0 = 1". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "0" e "0" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "0". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha intersecta o lado superior do quadrado maior em um ponto, que é a solução da equação: x = 0.

f) x² + 2x + 1 = 0
Esta equação pode ser fatorada como (x + 1)² = 0, o que significa que a solução é x = -1.

g) x² + 2x - 3 = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 2 = 3". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "2" e "-3" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha intersecta o lado superior do quadrado maior em dois pontos, que são as soluções da equação: x = 1 e x = -3.

h) 2x² + 10x + 25 = 0
Divida toda a equação por 2 para obter x² + 5x + 25/2 = 0. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 5 = 6". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "5" e "25/2" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "5/2". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha não intersecta o lado superior do quadrado maior, o que significa que a equação não tem soluções reais.

i) -5x + 21 = 0
Divida toda a equação por -5 para obter x - 21/5 = 0 ou x = 21/5.

j) 10x + 16 = 0
Divida toda a equação por 10 para obter x + 8/5 = 0 ou x = -8/5.

k) 3x² - 2x - 1 = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 3/2 = 5/2". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "-2" e "-1" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1/2". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha intersecta o lado superior do quadrado maior em dois pontos, que são as soluções da equação: x = 1 e x = -1/3.

l) 10x² + 7x + 1 = 0
Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1 + 10 = 11". Divida-o em quatro quadrados menores, cada um com lados de comprimento "1". Desenhe um retângulo com lados de comprimento "7" e "1" dentro do quadrado maior. Desenhe um quadrado com lados de comprimento "1/2". Coloque-o no canto inferior direito do retângulo. Desenhe uma linha reta do canto superior esquerdo do quadrado menor até o ponto médio do lado superior do quadrado maior. Essa linha intersecta o lado superior do quadrado maior em dois pontos, que são as soluções da equação: x = -1/2 e x = -1.

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