Exercício 5 – Determinar o polinômio de Taylor de ordem ????, no ponto ???? dado, das seguintes funções: a) ????(????) = ???? / ; ???? = 1; ???? = 5 b) ????(????) =...

Para determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto x dado, podemos usar a fórmula geral: P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2 + ... + (f^n(a)/n!)(x - a)^n Vamos resolver os itens a) e b) separadamente: a) Para a função f(x) = x^2, com a = 1 e n = 5, podemos calcular os termos do polinômio de Taylor substituindo na fórmula geral: P(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + (f''(1)/2!)(x - 1)^2 + (f'''(1)/3!)(x - 1)^3 + (f''''(1)/4!)(x - 1)^4 + (f'''''(1)/5!)(x - 1)^5 Calculando as derivadas de f(x) = x^2, temos: f'(x) = 2x f''(x) = 2 f'''(x) = 0 f''''(x) = 0 f'''''(x) = 0 Substituindo na fórmula, temos: P(x) = 1 + 2(x - 1) + 0/2!(x - 1)^2 + 0/3!(x - 1)^3 + 0/4!(x - 1)^4 + 0/5!(x - 1)^5 Simplificando, temos: P(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 5, no ponto 1, para a função f(x) = x^2, é P(x) = 2x - 1. b) Para a função f(x) = ln(1 - x), com a = 0 e n = 4, podemos seguir o mesmo processo: P(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + (f''(0)/2!)(x - 0)^2 + (f'''(0)/3!)(x - 0)^3 + (f''''(0)/4!)(x - 0)^4 Calculando as derivadas de f(x) = ln(1 - x), temos: f'(x) = -1/(1 - x) f''(x) = 1/(1 - x)^2 f'''(x) = -2/(1 - x)^3 f''''(x) = 6/(1 - x)^4 Substituindo na fórmula, temos: P(x) = 0 + (-1/(1 - 0))(x - 0) + (1/(1 - 0)^2)(x - 0)^2 + (-2/(1 - 0)^3)(x - 0)^3 + (6/(1 - 0)^4)(x - 0)^4 Simplificando, temos: P(x) = -x + x^2 - 2x^3 + 6x^4 Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 4, no ponto 0, para a função f(x) = ln(1 - x), é P(x) = -x + x^2 - 2x^3 + 6x^4.