AV2 - Trabalho 1

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Nesta atividade você deverá estudar quatro itens associados as derivadas. A seguir são apresentados um resumo de cada 
um, mas complemente o estudo com outros materiais. (Sugestão: acesse Minha Biblioteca). Ao final do estudo você deverá 
aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução das questões. 
 
1 Teorema de Rolle 
 
O teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua 𝑓 definida num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e 
diferenciável em (𝑎, 𝑏) , se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) então existe algum ponto 𝑐 em (𝑎, 𝑏) onde a tangente ao gráfico de 𝑓 é 
horizontal, isto é, 
𝑓 (𝑐) = 0 
 
 
 
2 Teorema do Valor Médio 
 
O teorema do valor médio afirma que dada uma função contínua 𝑓 definida num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] e 
diferenciável em (𝑎, 𝑏), existe algum ponto 𝑐 em (𝑎, 𝑏) tal que: 
 
𝑓 (𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abcissa 𝑐 é paralela à secante que passa pelos 
pontos de abcissas 𝑎 e b. 
 
Curso: Matemática e Engenharias Valor da avaliação: 5,0 pontos 
IEN002-20 – Cálculo Diferencial e Integral I ( ) AV1 ( X )AV2 ( )AVS ( ) 2ª Ch. AVS 
Professor: Jhoab Pessoa de Negreiros Data de envio: 23 / 05 / 2020 
Aluno(a): Matrícula: 
Aluno(a): Matrícula: 
Aluno(a): Matrícula: 
Aluno(a): Matrícula: 
Data de entrega até: 02/06/2020 via BlackBoard 
 
Note que: O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e 
se a sua velocidade média é 𝑣 , então, durante esse percurso no intervalo [𝑎, 𝑏], há um instante (ponto 𝑐) em que a 
velocidade instantânea 𝑣 é igual a velocidade média 𝑣 . 
 
3 Regras de L’Hospital 
 
A regras de L’Hospital são métodos que são utilizados para trabalhar indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞. 
 
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis num intervalo aberto 𝐼, exceto, possivelmente, em um ponto 𝑎 ∈ 𝐼. Suponhamos que 
𝑔 (𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 ≠ 𝑎 em 𝐼. 
 
(i) Se lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑔(𝑥) = 0 e lim
→
( )
( )
= 𝐿, então lim
→
( )
( )
= lim
→
( )
( )
= 𝐿; 
 
(ii) Se lim
→
𝑓(𝑥) = lim
→
𝑔(𝑥) = ∞ e lim
→
( )
( )
= 𝐿, então lim
→
( )
( )
= lim
→
( )
( )
= 𝐿; 
 
4 Fórmula de Taylor 
 
A fórmula de Taylor consiste num método de aproximação de uma função por um polinômio, com um erro possível 
de ser estimado. 
 
Seja 𝑓: 𝐼 → ℝ uma função que admite derivadas até ordem 𝑛 num ponto 𝑐 do intervalo 𝐼. O polinômio de Taylor de ordem 
𝑛 de 𝑓 no ponto 𝑐, que denotamos por 𝑃 (𝑥), é dado por: 
 
𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓 (𝑐)(𝑥 − 𝑐) +
𝑓 (𝑐)
2!
(𝑥 − 𝑐) + ⋯ +
𝑓( )(𝑐)
𝑛!
(𝑥 − 𝑐) . 
 
5 Atividades 
 
Exercício 1 – A função 𝑓(𝑥) = 𝑥 / − 1 é tal que 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 0. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle no 
intervalo [−1, 1]? 
 
Exercício 2 – Seja 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 8𝑥 + 9. Mostrar que 𝑓 satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo 
[−3, 3] que satisfaçam 𝑓 (𝑐) = 0 
 
Exercício 3 – Determinar se possível um número 𝑐 em (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 (𝑐) =
( ) ( )
. 
(a) 𝑓(𝑥) = ; 𝑎 = 2, 𝑏 = 3 
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 4 
 
Exercício 4 – Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. 
(a) lim
→
= 
(b) lim
→
 = 
 
Exercício 5 – Determinar o polinômio de Taylor de ordem 𝑛, no ponto 𝑐 dado, das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 / ; 𝑐 = 1; 𝑛 = 5 
(b) 𝑓(𝑥) = ln (1 − 𝑥); 𝑐 = 0; 𝑛 = 4