3 - A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, ...

Para determinar a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2), precisamos encontrar o vetor gradiente em sua forma unitária. O vetor gradiente é dado por: grad f(x,y) = (df/dx, df/dy) Onde df/dx e df/dy são as derivadas parciais da função em relação a x e y, respectivamente. Então, temos: f(x,y) = xy + x² - y² df/dx = y + 2x df/dy = x - 2y Assim, o vetor gradiente em P(1,2) é: grad f(1,2) = (df/dx, df/dy) = (2, -2) Para obter a direção de maior crescimento, precisamos da forma unitária desse vetor, que é: u = (2/sqrt(8), -2/sqrt(8)) = (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2) Portanto, a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2) é dada pela alternativa: c) (1,1)