Sea Tk : R3 → R3 la transformación lineal Tk(x, y, z) = (kx+ y + z, x+ ky + z, x+ y + kz). a) Determine la dimensión de Ker(T−2). b) Verifique qu...

a) Para determinar a dimensão de Ker(T-2), precisamos encontrar o núcleo da transformação linear T-2. T-2(x, y, z) = ((k-2)x + y + z, x + (k-2)y + z, x + y + (k-2)z) Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação T-2(x, y, z) = 0: ((k-2)x + y + z, x + (k-2)y + z, x + y + (k-2)z) = (0, 0, 0) Isso nos leva a um sistema de equações lineares: (k-2)x + y + z = 0 x + (k-2)y + z = 0 x + y + (k-2)z = 0 Podemos resolver esse sistema usando eliminação gaussiana: 1 (k-2) 1 | 0 1 (k-2) 1 | 0 1 1 (k-2)| 0 Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira, obtemos: 1 (k-2) 1 | 0 0 -k+2 0 | 0 0 0 -k+2| 0 Portanto, a única solução é x = y = z = 0. Isso significa que o núcleo de T-2 é trivial e, portanto, a dimensão de Ker(T-2) é 0. b) Para verificar que T0 é um isomorfismo, precisamos mostrar que T0 é injetora e sobrejetora. Para mostrar que T0 é injetora, precisamos mostrar que se T0(x, y, z) = T0(x', y', z'), então (x, y, z) = (x', y', z'). T0(x, y, z) = (kx + y + z, x + ky + z, x + y + kz) T0(x', y', z') = (kx' + y' + z', x' + ky' + z', x' + y' + kz') Se T0(x, y, z) = T0(x', y', z'), então kx + y + z = kx' + y' + z', x + ky + z = x' + ky' + z' e x + y + kz = x' + y' + kz'. A partir da primeira equação, temos k(x - x') = y' - y + z' - z. A partir da segunda equação, temos (k-1)(x - x') = y' - y + z' - z. A partir da terceira equação, temos (k-1)(x - x') = y' - y + z' - z. Portanto, (k-1)(x - x') = y' - y + z' - z. Como k ≠ 1, podemos dividir por k-1 para obter x - x' = (y' - y + z' - z)/(k-1). Substituindo isso na primeira equação, obtemos k(x' - x) + y' - y + z' - z = 0. Como k ≠ 1, podemos dividir por k-1 para obter x' - x = (y - y' + z - z')/(1-k). Substituindo isso na segunda e terceira equações, obtemos y' - y = (k-1)/(1-k)(y - y' + z - z') e z' - z = (k-1)/(1-k)(y - y' + z - z'). Portanto, (x, y, z) = (x', y', z'). Isso significa que T0 é injetora. Para mostrar que T0 é sobrejetora, precisamos mostrar que para cada (a, b, c) em R3, existe (x, y, z) em R3 tal que T0(x, y, z) = (a, b, c). Podemos resolver o sistema de equações lineares T0(x, y, z) = (a, b, c): kx + y + z = a x + ky + z = b x + y + kz = c Usando eliminação gaussiana, obtemos: 1 k 1 | a 1 k 1 | b 1 1 k | c Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira, obtemos: 1 k 1 | a 0 0 0 | b-a 0 1 k-1| c-a Se k ≠ 1, podemos dividir a terceira linha por k-1 para obter: 1 k 1 | a 0 1 k-1| c-a 0 0 0 | (b-a) - (c-a)/(k-1) Portanto, T0 é sobrejetora se e somente se b - a = c - a/(k-1). Isso é verdadeiro para qualquer (a, b, c) em R3, portanto T0 é sobrejetora. Uma fórmula para T-1 0 é: T-1 0(x, y, z) = (-x^2 + y^2 + z^2, x^2 - y^2 + z^2, x^2 + y^2 - z^2).