Considerar el triángulo R de vértices (0,0) , (-1,1) y (1,1) . Calcular∫∫ R 4(x+ y) ex−y dA O enunciado apresenta uma questão de cálculo de inte...

Para resolver essa integral dupla, podemos utilizar a mudança de variáveis. Primeiro, vamos encontrar a matriz jacobiana da transformação: J = [∂(x,y)/∂(u,v)] = [∂x/∂u ∂x/∂v] [∂y/∂u ∂y/∂v] Se fizermos a transformação x = u + v e y = u - v, teremos: J = [1 1] [1 -1] |J| = -2 Agora, vamos encontrar os limites de integração na nova variável: x = u + v y = u - v Para y = 0, temos u = v. Para y = 1 - x, temos u = 1 e v = -1 + x. Portanto, os limites de integração são: -1 ≤ u ≤ 1 -1 + u ≤ v ≤ 1 - u Agora, podemos calcular a integral dupla: ∫∫ R 4(x+ y) ex−y dA = ∫∫ R 4(u + v + u - v) e^(u-v) |-2| (1/2) dudv = ∫∫ R 4u e^u e^v dudv = 4 ∫∫ R u e^u e^v dudv Fazendo a integração em relação a u, temos: 4 ∫∫ R u e^u e^v dudv = 4 ∫-1^1 e^v [(u - 1) e^u + 1] du dv = 4 ∫-1^1 [(u - 1) e^u + 1] du ∫-1+u^1-u e^v dv = 4 [(2/e) - 1/2] = 3/e Portanto, a resposta é 3/e.