Determinar k, de modo que o produto de duas raízes da equação x3 + kx2 + 2 = 0 seja 1. Encontrar as raízes da equação x3 + kx2 + 2 = 0 Encontrar d...

Para que o produto de duas raízes da equação x³ + kx² + 2 = 0 seja 1, podemos usar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação. Sabemos que a soma das raízes é igual a zero, então se uma das raízes é 1, a soma das outras duas raízes deve ser -1. Além disso, o produto das raízes é -2/k. Se uma das raízes é 1, o produto das outras duas raízes deve ser -2/k. Assim, podemos escrever a equação x³ + kx² + 2 = 0 como (x - 1)(x + a)(x + b) = 0, onde a e b são as outras duas raízes. Sabemos que a + b = -1 e que ab = -2/k. Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar a e b: a + b = -1 ab = -2/k a = -1 - b (-1 - b)b = -2/k -b² - b + 2/k = 0 b² + b - 2/k = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: b = (-1 + sqrt(1 + 8/k))/2 ou b = (-1 - sqrt(1 + 8/k))/2 Como a e b são as outras duas raízes, podemos escolher a que tem produto 1 com 1 e calcular o valor de k: (a)(1) = -2/k a = -2/k Substituindo a expressão de a em termos de b na equação acima, temos: (-2/k)(-1 - b) = -2/k - 2b/k - 2/k = 1 -2 - 2b - 2k = k b = (-k - 2)/2 Substituindo a expressão de b em termos de k na equação ab = -2/k, temos: (-2/k)(-k - 2)/2 = 1 k² + 2k - 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: k = (-2 + sqrt(20))/2 ou k = (-2 - sqrt(20))/2 Simplificando, temos: k = -1 + sqrt(5) ou k = -1 - sqrt(5) Portanto, a resposta correta é a letra E) k = 3 - sqrt(5) ou k = 3 + sqrt(5). As raízes da equação são x = 1, x = (-1 + sqrt(5))/2 e x = (-1 - sqrt(5))/2. Duas raízes cujo produto é 1 são x = 1 e x = -2/(3 - sqrt(5)).