(a) Calcule a integral dupla I = ∫∫R (x2 − y2) dA, onde R é um ćırculo de raio unitário. (b) I = ∫∫R (x+ y) dA, onde R = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤...

(a) Para calcular a integral dupla I = ∫∫R (x² - y²) dA, onde R é um círculo de raio unitário, podemos utilizar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que x = rcosθ e y = rsenθ, onde r é o raio e θ é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r dr dθ. Substituindo x e y na expressão da integral, temos: I = ∫∫R (r²cos²θ - r²sen²θ) r dr dθ R é um círculo de raio unitário, então podemos integrar de r = 0 até r = 1 e de θ = 0 até θ = 2π. I = ∫(0 to 1) ∫(0 to 2π) (r²cos²θ - r²sen²θ) r dr dθ Resolvendo as integrais, obtemos: I = ∫(0 to 1) [r⁴/4 cos²θ - r⁴/4 sen²θ] dθ I = ∫(0 to 1) r⁴/4 (cos²θ - sen²θ) dθ I = r⁴/4 ∫(0 to 1) (cos²θ - sen²θ) dθ A integral de (cos²θ - sen²θ) é zero, pois é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico. Portanto, a integral dupla I é igual a zero. (b) Para calcular a integral dupla I = ∫∫R (x + y) dA, onde R = {(x, y) | 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≤ 0}, podemos utilizar coordenadas polares novamente. Em coordenadas polares, temos que x = rcosθ e y = rsenθ, onde r é o raio e θ é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r dr dθ. Substituindo x e y na expressão da integral, temos: I = ∫∫R (rcosθ + rsenθ) r dr dθ R é um anel com raio interno 1 e raio externo 2, e x ≤ 0, então podemos integrar de r = 1 até r = 2 e de θ = -π/2 até θ = π/2. I = ∫(π/2 to -π/2) ∫(1 to 2) (rcosθ + rsenθ) r dr dθ Resolvendo as integrais, obtemos: I = ∫(π/2 to -π/2) [r³/3 cosθ + r³/3 senθ] (from 1 to 2) dθ I = ∫(π/2 to -π/2) [8/3 cosθ + 8/3 senθ - 1/3 cosθ - 1/3 senθ] dθ I = ∫(π/2 to -π/2) [7/3 cosθ + 7/3 senθ] dθ A integral de cosθ e senθ em um intervalo simétrico é zero, então temos: I = ∫(π/2 to -π/2) 0 dθ I = 0 Portanto, a integral dupla I é igual a zero.