Determine una función f : R → R, de modo que el campo vectorial F⃗ (x, y, z) = (2xex2+y sin(f(z)), ex2+y sin(f(z))+2y/(1+y^2), 2ex2+y cos(f(z))+3f...

Para que o campo vetorial F⃗ (x, y, z) seja um campo gradiente, é necessário que suas componentes sejam funções deriváveis. Portanto, precisamos encontrar uma função f(z) que torne as componentes de F⃗ (x, y, z) deriváveis em relação a x, y e z. Vamos começar encontrando a primeira componente de F⃗ (x, y, z): ∂/∂x (2xex2+y sin(f(z))) = 4xex2+y sin(f(z)) Agora, vamos encontrar a segunda componente de F⃗ (x, y, z): ∂/∂y (ex2+y sin(f(z))+2y/(1+y^2)) = 2/(1+y^2) - 2y^2/(1+y^2)^2 + sin(f(z)) Por fim, vamos encontrar a terceira componente de F⃗ (x, y, z): ∂/∂z (2ex2+y cos(f(z))+3f(z)^2/4) = 2y cos(f(z)) - 3f(z)/2 Para que F⃗ (x, y, z) seja um campo gradiente, é necessário que as três componentes sejam iguais às derivadas parciais de uma função potencial f(x, y, z). Portanto, precisamos encontrar uma função f(x, y, z) que tenha as derivadas parciais acima. Vamos começar encontrando a função potencial para a alternativa a): f(z) = 2z f(x, y, z) = ex2+y sin(2z) + ln(1 + y^2) + z^4/4 + C, C ∈ R Podemos verificar que as derivadas parciais de f(x, y, z) são iguais às componentes de F⃗ (x, y, z). Portanto, F⃗ (x, y, z) é um campo gradiente e f(x, y, z) é uma função potencial associada. Podemos fazer o mesmo para as alternativas b) e c), encontrando as funções potenciais correspondentes e verificando se as derivadas parciais são iguais às componentes de F⃗ (x, y, z).