Si f, g son funciones de clase C2, muestre las siguientes identidades: a) ∇2(fg) = f∇2g + g∇2f + 2(∇f · ∇g). b) ∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f . c) ...

Para demonstrar as identidades fornecidas, vamos usar algumas propriedades do operador nabla (∇) e do produto escalar (∇ · ∇). a) Para demonstrar ∇²(fg) = f∇²g + g∇²f + 2(∇f · ∇g), podemos começar expandindo a expressão: ∇²(fg) = ∇ · ∇(fg) Usando a regra do produto do operador nabla, temos: ∇ · (∇(fg)) = ∇ · (g∇f + f∇g) Aplicando a regra do produto escalar, temos: ∇ · (g∇f + f∇g) = g∇²f + (∇f · ∇g) + f∇²g + (∇g · ∇f) Usando a propriedade do produto escalar simétrico (∇f · ∇g = ∇g · ∇f), podemos simplificar a expressão para: ∇²(fg) = f∇²g + g∇²f + 2(∇f · ∇g) Portanto, a identidade a) está demonstrada. b) Para demonstrar ∇ · (f∇g - g∇f) = f∇²g - g∇²f, podemos começar expandindo a expressão: ∇ · (f∇g - g∇f) Usando a regra do produto do operador nabla, temos: ∇ · (f∇g - g∇f) = ∇ · (f∇g) - ∇ · (g∇f) Aplicando a regra do produto escalar, temos: ∇ · (f∇g) - ∇ · (g∇f) = f∇²g + (∇g · ∇f) - g∇²f - (∇f · ∇g) Usando a propriedade do produto escalar simétrico (∇f · ∇g = ∇g · ∇f), podemos simplificar a expressão para: ∇ · (f∇g - g∇f) = f∇²g - g∇²f Portanto, a identidade b) está demonstrada. c) Para demonstrar ∇ · (f∇f) = ||∇f||² + f∇²f, podemos começar expandindo a expressão: ∇ · (f∇f) Usando a regra do produto do operador nabla, temos: ∇ · (f∇f) = ∇ · (∇f) · f + ∇f · ∇f Aplicando a regra do produto escalar, temos: ∇ · (∇f) · f + ∇f · ∇f = ∇²f · f + (∇f · ∇f) Usando a definição de ∇²f = ∇ · ∇f, podemos simplificar a expressão para: ∇ · (∇f) · f + ∇f · ∇f = ∇²f · f + ||∇f||² Portanto, a identidade c) está demonstrada. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.