Prove that, if f: [a, b] → R is continuous, then given ε > 0, there exists a polygonal function φ: [a, b] → R such that |f(x) − φ(x)| < ε for all x...

Para provar que, se f: [a, b] → R é contínua, então dado ε > 0, existe uma função poligonal φ: [a, b] → R tal que |f(x) − φ(x)| < ε para todo x ∈ [a, b], podemos usar o Teorema de Weierstrass. O Teorema de Weierstrass afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado é uniformemente contínua e pode ser aproximada por uma sequência de funções polinomiais. Assim, dado ε > 0, podemos escolher uma função polinomial φ tal que |f(x) - φ(x)| < ε/3 para todo x ∈ [a, b]. Como φ é uma função polinomial, ela é uma função poligonal. Além disso, como f é contínua em [a, b], ela é uniformemente contínua em [a, b]. Isso significa que existe um δ > 0 tal que |f(x) - f(y)| < ε/3 sempre que |x - y| < δ. Agora, podemos dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento menor que δ. Seja x0 = a, x1, x2, ..., xn = b a sequência de pontos obtidos. Defina φ(x) como a função poligonal que conecta os pontos (xi, φ(xi)) para i = 0, 1, ..., n. Então, temos que |f(x) - φ(x)| ≤ |f(x) - φ(xi)| + |φ(xi) - φ(x)| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε para todo x ∈ [a, b]. Portanto, φ é a função poligonal desejada.