Sejam x1, x2, . . . , xn e t1, . . . , tn nú meros n ão-negativos, com t1 + · · · + tn = 1. Prove que xt1 · xt2 · · · · · xtn ≤ t1x1 + t2x2 + · ·...

Essa é a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. Vamos provar que xt1 · xt2 · · · · · xtn ≤ t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn. Podemos supor que todos os xi são positivos, caso contrário, a desigualdade é trivial. Além disso, podemos supor que n = 2, pois a desigualdade é verdadeira para n = 2 e podemos aplicar a desigualdade repetidamente para provar o caso geral. Então, temos x1, x2, t1 e t2, com t1 + t2 = 1. Queremos provar que x1t1 · x2t2 ≤ t1x1 + t2x2. Podemos reescrever a desigualdade como x1t1 · x2t2 ≤ t1x1 + t2x2 - x1t2 - x2t1. Agora, observe que (t1x1 + t2x2 - x1t2 - x2t1)² = (t1x1 - x1t2)² + 2(t1x1 - x1t2)(t2x2 - x2t1) + (t2x2 - x2t1)². A primeira e a terceira parcelas são não negativas, então podemos ignorá-las. A segunda parcela é igual a 2t1t2(x1x2 - t1t2), que é negativa, já que x1x2 ≤ (x1 + x2)²/4 = (t1x1 + t2x2)²/4 ≤ t1²x1/2 + t2²x2/2. Portanto, (t1x1 + t2x2 - x1t2 - x2t1)² é não negativo, o que implica que x1t1 · x2t2 ≤ t1x1 + t2x2 - x1t2 - x2t1, como queríamos demonstrar. Agora, para concluir a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, observe que podemos aplicar a desigualdade repetidamente para obter: x1^(t1) · x2^(t2) · · · · · xn^(tn) ≤ t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn. Tomando a raiz n-ésima em ambos os lados, obtemos: (x1 · x2 · · · · · xn)^(1/n) ≤ (t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn)/n. Isso é exatamente a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica.