Demonstre o corolário de Teorema 22 para intervalos arbitrários (abertos ou n ão) I ⊂ R.

O corolário do Teorema 22, também conhecido como Teorema do Valor Médio, afirma que se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável em um intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto c no intervalo aberto (a, b) onde a derivada da função é igual à razão entre a variação da função e a variação do argumento, ou seja: f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) Para demonstrar o corolário para intervalos arbitrários I ⊂ R, podemos seguir os seguintes passos: 1. Se I é um intervalo fechado, então o corolário é válido pela definição do Teorema do Valor Médio. 2. Se I é um intervalo aberto, podemos escolher dois pontos a e b em I e definir um novo intervalo fechado [a', b'] contendo I, de forma que a' < a < b < b'. Como f(x) é contínua em [a', b'] e diferenciável em (a', b'), podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para [a', b'] e obter: f'(c) = (f(b') - f(a'))/(b' - a') 3. Como I está contido em (a', b'), podemos reescrever a equação acima como: f'(c) = (f(b') - f(a'))/(b' - a') = (f(b) - f(a))/(b - a) 4. Portanto, existe pelo menos um ponto c em I onde o corolário é válido. Assim, o corolário do Teorema 22 é válido para intervalos arbitrários I ⊂ R.