ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 1er parcial T: 1 1) Dada la función f(x)= 1 1 log + − x x hallar: a) Dominio de la función b) La inversa y su dominio. ...

1) Para encontrar o domínio da função f(x), devemos considerar as restrições que existem na expressão. No caso da função f(x) = (1/x) * (log(x)), temos que o logaritmo só está definido para valores positivos de x. Além disso, a função também não está definida para x = 0, pois teríamos uma divisão por zero. Portanto, o domínio da função f(x) é dado por x > 0. Para encontrar a função inversa, podemos trocar x por y na expressão da função e resolver em relação a x. Temos: y = (1/x) * (log(x)) Multiplicando ambos os lados por x, temos: yx = log(x) Aplicando a função exponencial em ambos os lados, obtemos: e^(yx) = x Portanto, a função inversa de f(x) é dada por f^(-1)(x) = e^(xy), e seu domínio é dado por x > 0. 2) Para representar as funções a) f(x) = (x^2 * cos(2x)) / (2cos(3x)) e b) f(x) = 32 / (1 - x), devemos analisar o domínio, a imagem e a paridade de cada uma. a) Domínio: A função a) está definida para todos os valores de x, exceto quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando 2cos(3x) = 0. Portanto, devemos encontrar os valores de x que tornam essa expressão igual a zero. Temos: 2cos(3x) = 0 cos(3x) = 0 Para que o cosseno seja igual a zero, o ângulo deve ser igual a pi/2, 3pi/2, 5pi/2, e assim por diante. Portanto, temos que: 3x = pi/2 + k*pi, onde k é um número inteiro x = (pi/6 + k*pi)/3, onde k é um número inteiro Portanto, o domínio da função a) é dado por x ≠ (pi/6 + k*pi)/3, onde k é um número inteiro. Imagem: Para determinar a imagem da função, devemos analisar os valores que a função pode assumir. Como a função é uma divisão de duas funções trigonométricas, a imagem será o conjunto de todos os valores reais, exceto quando o denominador é igual a zero. Paridade: Para analisar a paridade da função, devemos verificar se ela é simétrica em relação ao eixo y. No caso da função a), não é possível determinar sua paridade apenas pela expressão dada. Seria necessário analisar o comportamento da função em relação a valores específicos de x. b) Domínio: A função b) está definida para todos os valores de x, exceto quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando 1 - x = 0. Portanto, devemos encontrar o valor de x que torna essa expressão igual a zero. Temos: 1 - x = 0 x = 1 Portanto, o domínio da função b) é dado por x ≠ 1. Imagem: Para determinar a imagem da função, devemos analisar os valores que a função pode assumir. Como a função é uma divisão de dois números reais, a imagem será o conjunto de todos os valores reais, exceto quando o denominador é igual a zero. Paridade: Para analisar a paridade da função, devemos verificar se ela é simétrica em relação ao eixo y. No caso da função b), não é possível determinar sua paridade apenas pela expressão dada. Seria necessário analisar o comportamento da função em relação a valores específicos de x. 3) Para calcular os limites dados, precisamos substituir os valores de x na expressão da função e verificar o comportamento da função quando x se aproxima do valor dado. a) Limite de (x * sen(x)) / (x^2 - 1) quando x tende a 1: lim(x→1) [(x * sen(x)) / (x^2 - 1)] Substituindo x por 1 na expressão, temos: (1 * sen(1)) / (1^2 - 1) sen(1) / 0 Como temos uma divisão por zero, o limite não está definido. b) Limite de (x^3 - x) / (x^2 + 3x + 2) quando x tende ao infinito: lim(x→∞) [(x^3 - x) / (x^2 + 3x + 2)] Dividindo todos os termos por x^2, temos: lim(x→∞) [(x - 1/x^2) / (1 + 3/x + 2/x^2)] Quando x tende ao infinito, os termos 1/x^2, 3/x e 2/x^2 tendem a zero. Portanto, temos: lim(x→∞) [(x - 0) / (1 + 0 + 0)] lim(x→∞) (x / 1) O limite é igual a infinito. 4) Para encontrar as equações das assíntotas da função f(x) = (x^2 - 2x + 4) / (2 - x), devemos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de valores específicos. a) Assíntota vertical: A função terá uma assíntota vertical quando o denominador for igual a zero. Portanto, devemos encontrar o valor de x que torna 2 - x igual a zero. Temos: 2 - x = 0 x = 2 Portanto, a função possui uma assíntota vertical em x = 2. b) Assíntota horizontal: Para encontrar a assíntota horizontal, devemos analisar o comportamento da função quando x tende ao infinito. Dividindo todos os termos por x, temos: f(x) = [(x^2 - 2x + 4) / x] / [(2 - x) / x] Quando x tende ao infinito, os termos -2x/x e 4/x tendem a zero. Portanto, temos: lim(x→∞) [(x^2 / x) / (2/x - 1)] lim(x→∞) (x / 2 - 1) O limite é igual a infinito. Portanto, a função não possui uma assíntota horizontal. c) Assíntota oblíqua: Para encontrar uma possível assíntota oblíqua, devemos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Temos: (x^2 - 2x + 4) / (2 - x) = -x - 4 + (6 / (2 - x)) Portanto, a função possui uma possível assíntota oblíqua dada por y = -x - 4. 5) a) Para encontrar f(g(y)), devemos substituir y na expressão de g(x) e, em seguida, substituir o resultado na expressão de f(x). Temos: g(y) = (4y - 2) / (y + 3) f(g(y)) = f((4y - 2) / (y + 3)) Substituindo na expressão de f(x), temos: f(g(y)) = ([(4y - 2) / (y + 3)]^2 - 2 * [(4y - 2) / (y + 3)] + 4) / (2 - [(4y - 2) / (y + 3)]) Simplificando a expressão, temos: f(g(y)) = (16y^2 - 16y + 4 - 2(4y - 2)(y + 3) + 4(y + 3)^2) / (2(y + 3) - (4y - 2)) f(g(y)) = (16y^2 - 16y + 4 - 8y^2 - 4y + 8 - 8y - 12 + 4y + 12) / (2y + 6 - 4y + 2) f(g(y)) = (8y^2 - 16y + 16) / (-2y + 8) b) Para analisar a continuidade de f(g(y)), devemos verificar se existem pontos de descontinuidade na função. Para isso, devemos analisar os valores de y que tornam o denominador igual a zero. Temos: -2y + 8 = 0 y = 4 Portanto, a função f(g(y)) possui uma descontinuidade em y = 4.