ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 1er parcial T: 1 1) Dada la función f(x)= 1 1 log + − x x hallar: a) Dominio de la función b) La inversa y su dominio. ...

1) Para encontrar o domínio da função f(x), devemos considerar as restrições que existem na expressão. No caso da função f(x) = (1/x) * (log(x)), temos que o logaritmo só está definido para valores positivos de x. Além disso, a função também não está definida para x = 0, pois teríamos uma divisão por zero. Portanto, o domínio da função f(x) é dado por x > 0. Para encontrar a função inversa, podemos trocar x por y na expressão da função original e resolver para y. Vamos fazer isso: y = (1/x) * (log(x)) Multiplicando ambos os lados por x, temos: xy = log(x) Agora, vamos isolar o logaritmo: log(x) = xy Aplicando a função exponencial em ambos os lados, obtemos: x = e^(xy) Portanto, a função inversa é dada por g(x) = e^(xy), onde o domínio de g(x) é dado por x > 0. 2) Para representar as funções a) f(x) = (x^2 * cos(2x^3)) e b) f(x) = 32/(1 - x), devemos analisar o domínio, a imagem e a paridade de cada uma. a) Domínio: Não há restrições para a função a), portanto, o domínio é dado por todos os valores reais de x. Imagem: Para determinar a imagem, devemos analisar o comportamento da função. Como a função envolve uma função trigonométrica, a imagem será limitada pelos valores que a função cos(2x^3) pode assumir. A função cos(x) varia entre -1 e 1, portanto, a função a) terá imagem entre -∞ e +∞. Paridade: A função a) não é par nem ímpar, pois envolve uma função trigonométrica e uma potência de x. b) Domínio: A função b) possui uma restrição no denominador, pois não podemos dividir por zero. Portanto, o domínio é dado por todos os valores reais de x, exceto x = 1. Imagem: A função b) é uma função racional, portanto, a imagem será limitada pelos valores que a função pode assumir. Como o denominador é 1 - x, a função não pode assumir o valor 1. Portanto, a imagem será todos os valores reais, exceto 1. Paridade: A função b) não é par nem ímpar, pois envolve uma divisão e uma subtração. 3) Para calcular os limites dados, precisamos analisar o comportamento das funções quando x se aproxima dos valores dados. a) Limite de (x * sen(1/x)) quando x tende a 0: Podemos observar que a função sen(1/x) oscila entre -1 e 1 à medida que x se aproxima de zero. Multiplicando essa função por x, teremos uma função que se aproxima de zero à medida que x se aproxima de zero. Portanto, o limite dessa função quando x tende a zero é igual a zero. b) Limite de (x^2 + 3x^3) / (x^2 + 3x^3 + 2x^3) quando x tende ao infinito: Podemos observar que, à medida que x tende ao infinito, os termos com menor grau (x^2) se tornam insignificantes em comparação com os termos com maior grau (3x^3 e 2x^3). Portanto, podemos simplificar a expressão para: Limite de (3x^3 + 2x^3) / (3x^3 + 2x^3) quando x tende ao infinito Isso resulta em: Limite de 5x^3 / 5x^3 quando x tende ao infinito Simplificando ainda mais, temos: Limite de 1 quando x tende ao infinito Portanto, o limite dessa função quando x tende ao infinito é igual a 1. 4) Para encontrar as equações das assíntotas da função f(x) = (x^2 - 2x + 4) / (2 - x), devemos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de valores específicos. a) Assíntotas verticais: As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função é igual a zero. Portanto, devemos encontrar os valores de x que tornam o denominador igual a zero: 2 - x = 0 Isolando x, temos: x = 2 Portanto, a função possui uma assíntota vertical em x = 2. b) Assíntotas horizontais: As assíntotas horizontais ocorrem quando a função se aproxima de um valor constante à medida que x tende ao infinito ou menos infinito. Para encontrar esses valores, devemos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de infinito e menos infinito. Quando x tende ao infinito: Limite de (x^2 - 2x + 4) / (2 - x) quando x tende ao infinito Podemos observar que, à medida que x tende ao infinito, os termos com menor grau (x^2 e -2x) se tornam insignificantes em comparação com o termo com maior grau (-x). Portanto, podemos simplificar a expressão para: Limite de (-x) / (-x) quando x tende ao infinito Isso resulta em: Limite de 1 quando x tende ao infinito Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em y = 1 quando x tende ao infinito. Quando x tende ao menos infinito: Limite de (x^2 - 2x + 4) / (2 - x) quando x tende ao menos infinito Podemos observar que, à medida que x tende ao menos infinito, os termos com menor grau (x^2 e -2x) se tornam insignificantes em comparação com o termo com maior grau (-x). Portanto, podemos simplificar a expressão para: Limite de (-x) / (-x) quando x tende ao menos infinito Isso resulta em: Limite de 1 quando x tende ao menos infinito Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em y = 1 quando x tende ao menos infinito. Para graficar a curva, podemos usar as informações das assíntotas e traçar o gráfico da função, levando em consideração o comportamento da função em relação aos valores de x e y. 5) a) Para encontrar f(g(y)) e g(f(y)), devemos substituir as funções g(x) e f(x) nas expressões correspondentes. f(g(y)) = f(e^(xy)) g(f(y)) = g((1/y) * (log(y))) Para determinar o domínio de cada uma dessas funções, devemos considerar as restrições que existem nas expressões. No caso de f(g(y)), a função exponencial e a função logarítmica estão definidas para todos os valores reais de x e y, portanto, o domínio de f(g(y)) é dado por todos os valores reais de y. No caso de g(f(y)), a função logarítmica está definida apenas para valores positivos de y, portanto, o domínio de g(f(y)) é dado por y > 0. b) Para analisar a continuidade das funções f(g(y)) e g(f(y)), devemos verificar se existem pontos de descontinuidade. No caso de f(g(y)), não há pontos de descontinuidade, pois as funções envolvidas são contínuas para todos os valores reais de y. No caso de g(f(y)), devemos considerar a função logarítmica. A função logarítmica é descontínua para valores não positivos de y, pois não está definida para esses valores. Portanto, o domínio de g(f(y)) é restrito a y > 0, o que implica que a função é contínua apenas para valores positivos de y. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.