Demonstre o teorema da convergência monotônica: se {a_n} é uma sequência crescente de números reais limitada superiormente, então a sequência das m...

Para demonstrar o Teorema da Convergência Monotônica, vamos dividir a demonstração em duas partes: primeiro, mostraremos que a sequência das médias aritméticas parciais, {b_n}, é limitada superiormente, e em seguida, mostraremos que ela converge para o supremo dos a_n.

Parte 1: Prova de que {b_n} é limitada superiormente

Como {a_n} é uma sequência crescente e limitada superiormente, podemos afirmar que existe um número real M tal que a_n ≤ M para todo n.

Vamos provar que {b_n} também é limitada superiormente. Para isso, considere a soma das n primeiras parcelas da sequência {a_n}:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n

Agora, vamos analisar a média aritmética parcial b_n:

b_n = S_n / n = (a_1 + a_2 + ... + a_n) / n

Podemos escrever cada termo a_i da soma S_n como a_i ≤ M, já que todos os termos de {a_n} são menores ou iguais a M.

Então temos:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n ≤ M + M + ... + M = nM

Portanto, podemos concluir que:

b_n = S_n / n ≤ (nM) / n = M

Isso significa que {b_n} é limitada superiormente por M.

Parte 2: Prova de que {b_n} converge para o supremo dos a_n

Agora, vamos mostrar que {b_n} converge para o supremo dos a_n, denotado por sup{a_n}.

Como {a_n} é limitada superiormente, o supremo dos a_n, sup{a_n}, existe.

Queremos provar que lim(b_n) = sup{a_n} quando n tende ao infinito.

Usando o mesmo raciocínio anterior, temos que para todo n, b_n ≤ M.

Além disso, b_n = S_n / n, onde S_n é a soma dos n primeiros termos de {a_n}.

Como {a_n} é crescente, podemos afirmar que S_n ≤ n * sup{a_n} (pois todos os termos de {a_n} são menores ou iguais ao supremo).

Portanto, temos:

b_n = S_n / n ≤ (n * sup{a_n}) / n = sup{a_n}

Isso implica que {b_n} é uma sequência limitada superiormente e, além disso, é uma sequência crescente.

Agora, podemos aplicar o Teorema do Limite para sequências monotônicas e limitadas, o que nos permite concluir que {b_n} converge.

Portanto, lim(b_n) = sup{a_n}, como desejado.

Dessa forma, demonstramos o Teorema da Convergência Monotônica: se {a_n} é uma sequência crescente de números reais limitada superiormente, então a sequência das médias aritméticas parciais, {b_n} = (a_1 + a_2 + ... + a_n) / n, converge para o supremo dos a_n.