Considere uma quadra de futsal representada pelo retângulo ABCD, onde A (−20,−10) e C (20,10). Cada uma das áreas dos goleiros é delimitada por um...

a) Não é possível que a distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole seja de 12 metros, pois a distância entre os focos da hipérbole é de 12√5 metros, ou seja, maior que 12 metros. b) A equação reduzida da hipérbole em que os focos estão alinhados com o eixo x é: (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 O centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, ou seja, o ponto (0,0). Como uma das assíntotas passa pelos pontos A e C, que estão sobre o eixo y, a hipérbole é equilátera, ou seja, a = b. Além disso, a distância entre os focos é 2c = 12√5, então c = 6√5. Substituindo na fórmula da excentricidade, temos: e = c / a = 6√5 / a Como a = b, temos: e = 6√5 / b c) A excentricidade da hipérbole é e = 6√5 / a, como calculado na letra b). d) O eixo imaginário da hipérbole é 2b. Como a hipérbole é equilátera, temos a = b. A excentricidade é e = 6√5 / a. Substituindo a = b na fórmula da excentricidade, temos: e = 6√5 / b b = 6√5 / e Substituindo na fórmula do eixo imaginário, temos: 2b = 2a = 2(6√5 / e) = 12√5 / e Portanto, o eixo imaginário da hipérbole mede 12√5 / e.