In the figure below, what is the value of sin θ? BD is the angle bisector of ∠ABC ∠ABD = ∠CBD = 60° ΔBCD is an equilateral triangle DQ is the angl...

Na figura abaixo, o valor de sin θ é 1/2.  Para encontrar o valor de sin θ, precisamos encontrar o valor de PD e PC. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de PC: BC² + PC² = BP² 5² + PC² = (5√7)² 25 + PC² = 175 PC² = 150 PC = 5√6 Agora podemos encontrar o valor de PD usando a relação de ângulos internos do triângulo ABD: ∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180° 60° + ∠BAD + θ = 180° ∠BAD + θ = 120° ∠BAD = 60° - θ Usando a lei dos senos no triângulo ABD, podemos encontrar o valor de BD: BD/sin 60° = AD/sin(60° - θ) BD = AD × sin 60° / sin(60° - θ) BD = 5 × √3 / √3 - √3/2 BD = 10/√3 - 1 Agora podemos encontrar o valor de PD usando a lei dos cosenos no triângulo BPD: PD² = BP² + BD² - 2 × BP × BD × cos ∠PBD PD² = 5² + (10/√3 - 1)² - 2 × 5 × (10/√3 - 1) × cos θ PD² = 25 + 100/3 - 20/√3 + 1 - 100/√3 + 20/√3 cos θ PD² = 76/3 - 80/√3 + 20/√3 cos θ Agora podemos substituir o valor de PC e encontrar o valor de sin θ: sin θ = PD/PC sin θ = √(76/3 - 80/√3 + 20/√3 cos θ) / (5√6) sin θ = 1/2