Prove que, se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta perpendicular a um deles tem ponto comum com o outro, então essa reta está contid...

Para provar que a reta está contida no outro plano, podemos usar a propriedade de que se dois planos são perpendiculares entre si, então qualquer reta contida em um deles será perpendicular ao outro plano. Seja P1 o primeiro plano, P2 o segundo plano e r a reta perpendicular a P1 que tem um ponto comum com P2. Vamos supor que r não está contida em P2. Se r não está contida em P2, então existe um ponto Q em r que não pertence a P2. Agora, vamos traçar uma reta s que passa por Q e é paralela a P2. Essa reta s não intersecta P2, pois se intersectasse, teríamos dois planos paralelos, o que é uma contradição. No entanto, a reta s é perpendicular a P1, pois é paralela a P2 e P1 é perpendicular a P2. Isso significa que a reta s está contida em P1. Mas isso também significa que a reta s intersecta P2, pois ela passa por Q, que está em r e tem um ponto comum com P2. Portanto, chegamos a uma contradição, pois assumimos que r não está contida em P2, mas encontramos uma reta s contida em P1 que intersecta P2. Isso implica que nossa suposição inicial estava errada e concluímos que a reta r está contida em P2. Assim, provamos que se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta perpendicular a um deles tem ponto comum com o outro, então essa reta está contida nesse outro plano.