Considere a cardioide de equação polar r = 2 + 0. na figura abaixo, e a reta L de equação cartesiana = (a) Obtenha a equação em coordenadas polares...

Para obter a equação em coordenadas polares da reta L, podemos substituir x e y pelas coordenadas polares r e θ. A equação cartesiana da reta L é dada por y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. No caso, a equação cartesiana da reta L é y = ax. Substituindo x e y por rcos(θ) e rsen(θ), respectivamente, temos: rsen(θ) = a * rcos(θ) Dividindo ambos os lados por r, temos: sen(θ) = a * cos(θ) Essa é a equação em coordenadas polares da reta L. Para encontrar as coordenadas polares do ponto P em que a reta L intersecta a cardioide, podemos substituir a equação da reta L na equação polar da cardioide e resolver para r. Substituindo a equação da reta L em r = 2 + cos(θ), temos: rsen(θ) = a * rcos(θ) r * sen(θ) = a * r * cos(θ) Dividindo ambos os lados por r, temos: sen(θ) = a * cos(θ) Agora, podemos substituir sen(θ) por √(1 - cos²(θ)) usando a identidade trigonométrica, e resolver para r: √(1 - cos²(θ)) = a * cos(θ) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 1 - cos²(θ) = a² * cos²(θ) 1 = (a² + 1) * cos²(θ) cos²(θ) = 1 / (a² + 1) cos(θ) = ± √(1 / (a² + 1)) θ = arccos(± √(1 / (a² + 1))) Agora, podemos substituir o valor de θ na equação polar da cardioide para encontrar o valor de r. r = 2 + cos(θ) r = 2 + cos(arccos(± √(1 / (a² + 1)))) r = 2 + ± √(1 / (a² + 1)) Portanto, as coordenadas polares do ponto P em que a reta L intersecta a cardioide são (r, θ) = (2 + ± √(1 / (a² + 1)), arccos(± √(1 / (a² + 1)))).