A1) Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(’), onde a = [ 0 −2 1 2 0 ], e seja x = [ 1 2 0 3 ]. Calcule as classes laterais xH e Hx e verifique se H ▹...

A1) Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(’), onde a = [ 0 −2 1 2 0 ], e seja x = [ 1 2 0 3 ]. Calcule as classes laterais xH e Hx e verifique se H ▹G. Solução: As potências de expoente inteiro de a são: • a2 = a · a = [ 0 −2 1 2 0 ] [ 0 −2 1 2 0 ] = [ −1 0 0 −1 ] • a3 = a2 · a = [ −1 0 0 1 ] [ 0 −2 1 2 0 ] = [ 0 2 −12 0 ] • a4 = a3 · a = [ 0 2 −12 0 ] [ 0 −2 1 2 0 ] = [ 1 0 0 1 ] = e = elemento neutro de GL2(’). Portanto, o(a) = 4 e H = {e, a, a2, a3} e, daı́, temos que xH = {x, xa, xa2, xa3} ⇒ xH = {[ 1 2 0 3 ], [ 1 −2 3 2 0 ], [ −1 −2 0 −3 ], [ −1 2 −32 0 ]} e Hx = {x, ax, a2x, a3x} ⇒ Hx = {[ 1 2 0 3 ], [ 0 −6 1 2 1 ], [ −1 −2 0 −3 ], [ 0 6 −12 −1 ]}. Como xH , Hx, concluı́mos que H não é um subgrupo normal de G.