Exercício de Algebra Linear (30)

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Capı́tulo 5
Classes laterais, subgrupos normais,
grupos-quocientes
A1) Seja H = [a] um subgrupo de G = GL2(�), onde a =
[
0 −2
1
2 0
]
, e seja
x =
[
1 2
0 3
]
. Calcule as classes laterais xH e Hx e verifique se H ▹G.
Solução: As potências de expoente inteiro de a são:
• a2 = a · a =
[
0 −2
1
2 0
] [
0 −2
1
2 0
]
=
[
−1 0
0 −1
]
• a3 = a2 · a =
[
−1 0
0 1
] [
0 −2
1
2 0
]
=
[
0 2
−12 0
]
• a4 = a3 · a =
[
0 2
−12 0
] [
0 −2
1
2 0
]
=
[
1 0
0 1
]
= e = elemento neutro de GL2(�).
Portanto, o(a) = 4 e H = {e, a, a2, a3} e, daı́, temos que xH = {x, xa, xa2, xa3} ⇒
xH =
{[
1 2
0 3
]
,
[
1 −2
3
2 0
]
,
[
−1 −2
0 −3
]
,
[
−1 2
−32 0
]}
e Hx = {x, ax, a2x, a3x} ⇒
Hx =
{[
1 2
0 3
]
,
[
0 −6
1
2 1
]
,
[
−1 −2
0 −3
]
,
[
0 6
−12 −1
]}
.
Como xH , Hx, concluı́mos que H não é um subgrupo normal de G.
A2) Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e K um subgrupo de H. Mostre
que (G : K) = (G : H)(H : K).
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