A2) Sejam G um grupo finito, H um subgrupo de G e K um subgrupo de H. Mostre que (G : K) = (G : H)(H : K).

Para mostrar que (G : K) = (G : H)(H : K), podemos usar a fórmula do índice de subgrupos. O índice de um subgrupo H em um grupo G, denotado por (G : H), representa o número de classes laterais distintas de H em G. Vamos considerar as classes laterais de K em G. Cada classe lateral de K em G pode ser escrita como Hk, onde k é um elemento de G. Agora, vamos considerar as classes laterais de H em G. Cada classe lateral de H em G pode ser escrita como Hg, onde g é um elemento de G. Podemos observar que cada classe lateral de H em G contém (H : K) classes laterais de K em H. Portanto, o número total de classes laterais de K em G é igual a (G : H)(H : K). Portanto, (G : K) = (G : H)(H : K). Espero que isso tenha ajudado! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.