Ejercicio 1 Probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población haya tenido al menos una de las dos enfermedades. Justificar. Resolu...

Ejercicio 1
Probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población haya tenido al menos una de las dos enfermedades. Justificar.

Resolución:
Sean los sucesos:
A: 'La persona contrajo la enfermedad A' (P(A) = 0.2)
B: 'La persona contrajo la enfermedad B' (P(B) = 0.15)
Además se sabe que P(A ∩ B) = 0.015

Calcular la probabilidad de que una persona haya tenido al menos una de las dos enfermedades:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.2 + 0.15 - 0.015 = 0.335

Ejercicio 2
En cierta población en estudio, el 25 % de las personas han contraído la enfermedad C, y el 20 % ha contraído la enfermedad D. Además, la probabilidad de que una persona haya tenido la enfermedad D sabiendo que ha tenido la enfermedad C es 0,19. Determinar si los sucesos: 'La persona ha tenido la enfermedad C' y 'La persona ha tenido la enfermedad D' son independientes. Justificar.

Resolución:
C: 'La persona ha tenido la enfermedad C' (P(C) = 0.25)
D: 'La persona ha tenido la enfermedad D' (P(D) = 0.2)

Además, se sabe que P(D|C) = 0.19

Como P(D ∩ C) = 0.0475 ≠ P(D) * P(C), resulta que D y C no son independientes.

Ejercicio 3
Una persona recibe dos dosis de una vacuna. Sean los sucesos A1: 'La persona tiene efectos secundarios al recibir la primera dosis', y A2: 'La persona tiene efectos secundarios al recibir la segunda dosis'. Se sabe que P(A1) = 0.02, P(A2) = 0.0106 y P(A1 ∩ A2) = 0.0006. Calcular la probabilidad de que la persona tenga efectos colaterales después de ambas dosis, sabiendo que al menos una de las dos dosis le produce efectos colaterales.

Resolución:
Debemos calcular P(A1 ∩ A2 | A1 ∪ A2).

Con la fórmula de la probabilidad condicional resulta:

P(A1 ∩ A2 | A1 ∪ A2) = P(A1 ∩ A2) / P(A1 ∪ A2)

P(A1 ∩ A2 | A1 ∪ A2) = (P(A1) * P(A2)) / P(A1 ∪ A2)

Por otra parte, P(A1 ∪ A2) = 0.03

Entonces, P(A1 ∩ A2 | A1 ∪ A2) = (0.0006 * 1) / 0.03 = 0.02

Ejercicio 4
Con el objetivo de investigar en qué medida es efectiva una vacuna contra la hepatitis, se estudió una muestra de 1000 individuos, algunos de los cuales habían sido vacunados y otros no; transcurrido un largo periodo de tiempo, algunos habían llegado a contraer la hepatitis mientras que otros permanecieron sanos.
A partir de los datos recogidos, se estimó que la probabilidad de contraer la enfermedad, dado que la persona no fue vacunada es 1/6.
Se pide completar la tabla, y calcular la probabilidad de que, al elegir una persona al azar de la muestra, no haya tenido hepatitis o esté vacunada.

Resolución:
La cantidad de personas no vacunadas es: 9/20 * 1000 = 450

Luego podemos completar la tabla en su totalidad:

Están vacunados
Contrajeron Hepatitis
SI NO Total
SI 5 80
NO 450 465
Total 455 545

Ejercicio 5
Se sabe que en una determinada población la probabilidad de padecer Diabetes tipo II es 0.05. La probabilidad de que una persona sea hipertensa dado que es diabética es 0.60. La probabilidad de que una persona no sea diabética dado que no es hipertensa es 0.80.
Se elige al azar una persona de esta población. Se pide completar la tabla.