7.6 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular Consideremos una rendija rectangular estrecha, de anchura b, y larga, de modo que podamos...
Consideremos una rendija rectangular estrecha, de anchura b, y larga, de modo que podamos ignorar los efectos de los bordes, sobre la que inciden ondas normales al plano de la rendija de longitud de onda λ. De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija todos los puntos de su plano se convierten en fuentes de ondas secundarias emitiendo nuevas ondas que en este caso reciben el nombre de ondas difractadas. Observando las ondas difractadas a diferentes ángulos θ respecto a la dirección de incidencia, figura 7.10, encontramos que para ciertas direcciones su intensidad es nula.
Figura 7.10.a) Rendija rectangular estrecha donde tiene lugar b) la difracción de la onda luminosa 7. Interferencia y difracción
7-12
Estas direcciones de intensidad nula están dadas por la relación
b
nsen
nbsen
λ
θ
λθ
=
= 0≠n [7.33]
La figura 7.11 se representa el diagrama de difracción de una sola rendija observado y la intensidad de las ondas difractadas en función del ángulo θ.
Obsérvese que el máximo central tiene un ancho doble del de los demás máximos secundarios. Calculemos la distribución de intensidades que aparece en la figura anterior. Para ello dividimos la rendija en bandas muy estrechas de ancho dx, tal y como se muestra en la figura 7.12.a y cada banda es una fuente secundaria de ondas de amplitud dξ0 muy pequeña. Si consideramos los rayos emitidos en la dirección correspondiente al ángulo θ, figura 7.12.b, el defasaje entre el rayo CC´ y el AA´ tomado como referencia es
λ
θπ
λ
π
δ
xsen
CD
22
== [7.34]
y por lo tanto aumenta gradualmente con x.
Figura 7.12.a) Se divide la rendija en bandas estrechas de espesor dx y b) cada banda es una fuente secundaria de ondas desfasada con las demás bandas
Figura 7.11 Diagrama de difracción de una sola rendija 7. Interferencia y difracción
7-13
Para obtener la amplitud correspondiente al ángulo θ, debemos representar los vectores rotantes correspondientes a las ondas que provienen de todas las bandas entre A y B. Como todas son de amplitud infinitesimal y como el ángulo de fase δ aumenta proporcionalmente a x, los vectores yacen sobre un arco de circunferencia OP cuyo centro está en C y cuyo radio es ρ, figura 7.13. La amplitud resultante A es la cuerda OP. La pendiente en cualquier punto del arco entre O y P es justamente el ángulo δ dado por la ecuación [7.34]. En P, que corresponde a x=b, la inclinación de la tangente es
λ
θπ
α
bsen2
= [7.35]
Este es también el ángulo formado por los radios CO y CP. Por consiguiente la amplitud resultante es
)(2
2
1
22
λ
θπ
ραρ
bsen
sensenQPA === [7.36]
Para observación normal, todos los vectores dξ0 son paralelos y su resultante es la suma de sus longitudes, que es igual a la longitud del arco OP. Llamando A0 la amplitud resultante para observación normal tenemos
)
2
(0 λ
θπ
ρρα
bsen
A == [7.37]
y dividiendo ambas ecuaciones llegamos a
=
λ
θπ
λ
θπ
bsen
bsen
sen
AA 0 [7.38]
y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes obtenemos
2
0
=
λ
θπ
λ
θπ
bsen
bsen
sen
II [7.39]
💡 1 Resposta
Ed 
A difração de Fraunhofer por uma fenda retangular ocorre quando uma onda incide em uma fenda estreita e longa, de largura b, e os efeitos das bordas podem ser ignorados. De acordo com o princípio de Huygens, quando a onda incide na fenda, todos os pontos do plano da fenda se tornam fontes de ondas secundárias, emitindo novas ondas difratadas. Ao observar as ondas difratadas em diferentes ângulos θ em relação à direção de incidência, encontramos que a intensidade é nula para certas direções. Essas direções de intensidade nula são determinadas pela relação b * sen(θ) = n * λ, onde n é um número inteiro diferente de zero. O diagrama de difração de uma única fenda mostra a distribuição de intensidade das ondas difratadas em função do ângulo θ. O máximo central tem uma largura duas vezes maior do que os máximos secundários. Para calcular a distribuição de intensidades, a fenda pode ser dividida em faixas estreitas de largura dx. Cada faixa é considerada uma fonte secundária de ondas com amplitude dξ0 muito pequena. O defasamento entre os raios emitidos na direção correspondente ao ângulo θ aumenta gradualmente com x, seguindo a relação δ = (2π/λ) * b * sen(θ) * x. A amplitude resultante A para um determinado ângulo θ é obtida representando os vetores rotantes correspondentes às ondas provenientes de todas as faixas entre A e B. Como todas as faixas têm amplitude infinitesimal e o ângulo de fase δ aumenta proporcionalmente a x, os vetores estão localizados em um arco de circunferência OP, cujo centro está em C e cujo raio é ρ. A amplitude resultante A é a corda OP, e a inclinação da tangente em P, que corresponde a x = b, é dada por α = (2π/λ) * b * sen²(θ). Portanto, a amplitude resultante é dada por A = (2/π) * ρ * α * sen(πρ/α). Para observação normal, todos os vetores dξ0 são paralelos, e a resultante é a soma de seus comprimentos, que é igual ao comprimento do arco OP. Chamando de A0 a amplitude resultante para observação normal, temos A0 = (2/π) * ρ * α * sen(πρ/α). Dividindo as duas equações, obtemos a relação I/I0 = (sen(πρ/α)/(πρ/α))², onde I é a intensidade resultante e I0 é a intensidade para observação normal. Espero que isso ajude a entender a difração de Fraunhofer por uma fenda retangular! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.
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