As caixas de cereais produzidos em uma determinada fábrica devem conter o peso de 450 gramas. Admite-se que os pesos destas caixas de cereais segue...
As caixas de cereais produzidos em uma determinada fábrica devem conter o peso de 450 gramas. Admite-se que os pesos destas caixas de cereais seguem uma distribuição Normal com desvio padrão de 25 gramas. Um fiscal selecionou uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais, cujos pesos observados em gramas foram:
445,1 445,1 462,3 447,9 456,4 450,8 459,3 450,8 447,9 443,9
Qual a probabilidade de que o peso médio das caixas amostradas varie entre os pesos de 445 gramas e 455 gramas?
💡 2 Respostas
Ed 
Para calcular a probabilidade de que o peso médio das caixas amostradas varie entre 445 gramas e 455 gramas, podemos utilizar a distribuição normal. Primeiro, vamos calcular a média dos pesos observados: (445,1 + 445,1 + 462,3 + 447,9 + 456,4 + 450,8 + 459,3 + 450,8 + 447,9 + 443,9) / 10 = 451,45 gramas Em seguida, vamos calcular o desvio padrão da amostra: Desvio padrão = √((Σ(xi - x̄)²) / (n - 1)) Onde xi é o valor de cada peso observado, x̄ é a média dos pesos observados e n é o tamanho da amostra. Desvio padrão = √(((445,1 - 451,45)² + (445,1 - 451,45)² + (462,3 - 451,45)² + (447,9 - 451,45)² + (456,4 - 451,45)² + (450,8 - 451,45)² + (459,3 - 451,45)² + (450,8 - 451,45)² + (447,9 - 451,45)² + (443,9 - 451,45)²) / (10 - 1)) Desvio padrão ≈ 6,02 gramas Agora, vamos padronizar os valores de 445 gramas e 455 gramas utilizando a fórmula z = (x - μ) / σ, onde z é o escore z, x é o valor a ser padronizado, μ é a média e σ é o desvio padrão. Para 445 gramas: z = (445 - 451,45) / 6,02 ≈ -1,07 Para 455 gramas: z = (455 - 451,45) / 6,02 ≈ 0,59 Agora, podemos consultar a tabela da distribuição normal padrão (z) para encontrar as probabilidades correspondentes aos escores z. A probabilidade de que o peso médio das caixas amostradas varie entre 445 gramas e 455 gramas é igual à diferença entre as probabilidades correspondentes aos escores z de -1,07 e 0,59. Consultando a tabela, encontramos que a probabilidade correspondente a z = -1,07 é aproximadamente 0,1423 e a probabilidade correspondente a z = 0,59 é aproximadamente 0,7224. Portanto, a probabilidade de que o peso médio das caixas amostradas varie entre 445 gramas e 455 gramas é aproximadamente 0,7224 - 0,1423 = 0,5801, ou seja, 58,01%.
Gomes silva
A média amostral é calculada somando os pesos das caixas e dividindo pelo número de caixas na amostra. Nesse caso, temos uma amostra de 10 caixas de cereais.
Dado que a média de uma amostra segue uma distribuição Normal com média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, podemos usar esses parâmetros para calcular as probabilidades desejadas.
A média da população é 450 gramas e o desvio padrão da população é 25 gramas. Portanto, o desvio padrão da média amostral é 25 / sqrt(10), onde sqrt representa a raiz quadrada.
Agora, vamos calcular o Z-score (escore-z) para ambos os limites do intervalo (445 e 455) usando a fórmula:
Z = (X - μ) / σ
Onde:
X = limite do intervalo (445 ou 455)
μ = média da população (450)
σ = desvio padrão da média amostral (25 / sqrt(10))
Calculando o Z-score para o limite inferior (445):
Z1 = (445 - 450) / (25 / sqrt(10))
Z1 = -5 / (25 / sqrt(10))
Z1 = -2 sqrt(10) / 5
Calculando o Z-score para o limite superior (455):
Z2 = (455 - 450) / (25 / sqrt(10))
Z2 = 5 / (25 / sqrt(10))
Z2 = 2 sqrt(10) / 5
Agora, precisamos encontrar as probabilidades associadas aos Z-scores Z1 e Z2 na tabela da distribuição Normal padrão ou utilizando uma calculadora estatística.
A probabilidade de que o peso médio das caixas amostradas varie entre 445 e 455 gramas é calculada subtraindo a probabilidade associada ao Z-score Z1 da probabilidade associada ao Z-score Z2.
P(445 ≤ X ≤ 455) = P(Z1 ≤ Z ≤ Z2) = P(Z ≤ Z2) - P(Z ≤ Z1)
Dado que as probabilidades estão associadas à distribuição Normal padrão, podemos olhar na tabela ou usar uma calculadora estatística para obter as probabilidades.
Portanto, utilizando os Z-scores Z1 e Z2, você pode consultar a tabela da distribuição Normal ou utilizar uma calculadora estatística para encontrar as probabilidades associadas a esses Z-scores e calcular a probabilidade desejada.
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