23. Sean Rn y E = { e1, e2, … , en} la base canónica de Rn . Sean u1 = e2 – e1; …, un-1 = en – e n-1 , un = en a. Probar que B ={ui} es base de ...

a. Para provar que B = {ui} é uma base de Rn, precisamos mostrar que os vetores em B são linearmente independentes e geram todo o espaço Rn. Para mostrar que os vetores em B são linearmente independentes, devemos assumir que a combinação linear deles é igual a zero e, em seguida, mostrar que os coeficientes dessa combinação linear são todos iguais a zero. Portanto, suponha que existam coeficientes c1, c2, ..., cn tais que: c1u1 + c2u2 + ... + cnun = 0 Substituindo os valores de ui, temos: c1(e2 - e1) + c2(e3 - e2) + ... + cn(en - en-1) = 0 Agora, podemos agrupar os termos semelhantes: (c2 - c1)e2 + (c3 - c2)e3 + ... + (cn - cn-1)en = 0 Como E = {e1, e2, ..., en} é uma base canônica de Rn, isso implica que os coeficientes devem ser todos iguais a zero: c2 - c1 = 0 c3 - c2 = 0 ... cn - cn-1 = 0 Portanto, c1 = c2 = ... = cn = 0, o que mostra que os vetores em B são linearmente independentes. Agora, para mostrar que os vetores em B geram todo o espaço Rn, devemos mostrar que qualquer vetor em Rn pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em B. Como os vetores em B são u1 = e2 - e1, u2 = e3 - e2, ..., un-1 = en - en-1 e un = en, podemos escrever qualquer vetor v em Rn como: v = (v1 - v0)e1 + (v2 - v1)e2 + ... + (vn - vn-1)en-1 + vn*en Onde v0, v1, ..., vn são os componentes do vetor v. Portanto, os vetores em B geram todo o espaço Rn. Assim, podemos concluir que B = {ui} é uma base de Rn. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.