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Vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar df/dt em cada uma das opções: a. f(x, y) = x^2 + y^2 + xy, x = sen(t), y = e^(-t) Para aplicar a regra da cadeia, vamos derivar em relação a t: df/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = 2x + y ∂f/∂y = 2y + x E as derivadas dx/dt e dy/dt: dx/dt = cos(t) dy/dt = -e^(-t) Substituindo na fórmula da regra da cadeia: df/dt = (2x + y) * cos(t) + (2y + x) * (-e^(-t)) Substituindo x = sen(t) e y = e^(-t): df/dt = (2sen(t) + e^(-t)) * cos(t) + (2e^(-t) + sen(t)) * (-e^(-t)) b. f(x, y) = cos(x + 4y), x = 5t^4, y = 1/t Novamente, vamos aplicar a regra da cadeia: df/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = -sen(x + 4y) ∂f/∂y = -4sen(x + 4y) E as derivadas dx/dt e dy/dt: dx/dt = 20t^3 dy/dt = -1/t^2 Substituindo na fórmula da regra da cadeia: df/dt = (-sen(x + 4y)) * (20t^3) + (-4sen(x + 4y)) * (-1/t^2) Substituindo x = 5t^4 e y = 1/t: df/dt = (-sen(5t^4 + 4/t)) * (20t^3) + (-4sen(5t^4 + 4/t)) * (-1/t^2) c. f(x, y) = √(1 + x^2 + y^2), x = ln(t), y = cos(t) Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia: df/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = x / √(1 + x^2 + y^2) ∂f/∂y = y / √(1 + x^2 + y^2) E as derivadas dx/dt e dy/dt: dx/dt = 1/t dy/dt = -sen(t) Substituindo na fórmula da regra da cadeia: df/dt = (x / √(1 + x^2 + y^2)) * (1/t) + (y / √(1 + x^2 + y^2)) * (-sen(t)) Substituindo x = ln(t) e y = cos(t): df/dt = (ln(t) / √(1 + ln(t)^2 + cos(t)^2)) * (1/t) + (cos(t) / √(1 + ln(t)^2 + cos(t)^2)) * (-sen(t)) d. f(x, y) = arctan(y/x), x = e^t, y = 1 - e^(-t) Aplicando a regra da cadeia: df/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = -y / (x^2 + y^2) ∂f/∂y = x / (x^2 + y^2) E as derivadas dx/dt e dy/dt: dx/dt = e^t dy/dt = e^(-t) Substituindo na fórmula da regra da cadeia: df/dt = (-y / (x^2 + y^2)) * (e^t) + (x / (x^2 + y^2)) * (e^(-t)) Substituindo x = e^t e y = 1 - e^(-t): df/dt = (-(1 - e^(-t)) / (e^(2t) + (1 - e^(-t))^2)) * (e^t) + (e^t / (e^(2t) + (1 - e^(-t))^2)) * (e^(-t)) Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.
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