22. Um campo de forças bidimensional F define-se por F(x,y) = (x+ y,x− y). (a) Provar que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partí...

Para provar que o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva depende apenas dos valores iniciais e finais das coordenadas, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos de força conservativos. Dado o campo de forças bidimensional F(x, y) = (x + y, x - y), podemos calcular o trabalho realizado ao longo da curva α(t) = (f(t), g(t)) usando a fórmula do trabalho: W = ∫[a,b] F(x, y) · α'(t) dt Onde α'(t) é o vetor tangente à curva α(t) e · representa o produto escalar. Para a parte (a) da questão, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, que afirma que se um campo de forças F(x, y) é o gradiente de uma função escalar f(x, y), então o trabalho realizado ao longo de uma curva fechada é igual a zero. No caso do campo F(x, y) = (x + y, x - y), podemos verificar que é o gradiente da função escalar f(x, y) = ½x² + xy - ½y². Portanto, o campo é conservativo. Isso significa que o trabalho realizado ao longo da curva α(t) depende apenas dos valores iniciais e finais das coordenadas, ou seja, f(a), f(b), g(a) e g(b). Para a parte (b) da questão, podemos substituir os valores dados f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4 na fórmula do trabalho e calcular o valor total do trabalho realizado. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.