3. Use o Princípio da Indução para provar as afirmacoes a seguir: (a) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = ( n(n+ 1) 2 )2 (b) 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + · ·...

Vamos utilizar o Princípio da Indução para provar as afirmações: (a) Para provar a igualdade 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n(n+1)/2)2, vamos seguir os passos do Princípio da Indução: Passo 1: Base da Indução Verifique se a igualdade é verdadeira para n = 1. Para n = 1, temos 13 = (1(1+1)/2)2 = 1, que é verdadeiro. Passo 2: Hipótese de Indução Assumimos que a igualdade é verdadeira para um valor k qualquer, ou seja, 13 + 23 + 33 + ... + k3 = (k(k+1)/2)2. Passo 3: Passo Indutivo Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k+1. Para isso, adicionamos (k+1)3 ao lado esquerdo da igualdade: 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k+1)3. Agora, vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até k: (k(k+1)/2)2 + (k+1)3. Vamos simplificar essa expressão: (k2(k+1)2/4) + (k+1)3. Agora, vamos fatorar o termo comum (k+1): (k+1)(k2/4 + (k+1)2). Podemos simplificar ainda mais: (k+1)((k2 + 4(k+1)2)/4). Agora, vamos expandir o quadrado (k+1)2: (k+1)(k2 + 4k + 4). Vamos simplificar novamente: (k+1)(k2 + 4k + 4). Agora, vamos fatorar o trinômio: (k+1)(k+2)2. E finalmente, vamos usar a propriedade (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)2/2: (k+1)(k+2)2 = ((k+1)(k+2)/2)2. Portanto, provamos que a igualdade é verdadeira para k+1. Com isso, concluímos que a igualdade é verdadeira para todo número natural n, utilizando o Princípio da Indução. (b) Para provar a igualdade 1/(1 · 2 · 3) + 1/(2 · 3 · 4) + ... + 1/(n(n+1)(n+2)) = n/(4(n+1)(n+2)), vamos seguir os mesmos passos do Princípio da Indução: Passo 1: Base da Indução Verifique se a igualdade é verdadeira para n = 1. Para n = 1, temos 1/(1 · 2 · 3) = 1/(6) = 1/6, e n/(4(n+1)(n+2)) = 1/(4(2)(3)) = 1/24, que são iguais. Passo 2: Hipótese de Indução Assumimos que a igualdade é verdadeira para um valor k qualquer, ou seja, 1/(1 · 2 · 3) + 1/(2 · 3 · 4) + ... + 1/(k(k+1)(k+2)) = k/(4(k+1)(k+2)). Passo 3: Passo Indutivo Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k+1. Para isso, adicionamos 1/((k+1)(k+2)(k+3)) ao lado esquerdo da igualdade: 1/(1 · 2 · 3) + 1/(2 · 3 · 4) + ... + 1/(k(k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)(k+3)). Agora, vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até k: k/(4(k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)(k+3)). Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações: (k(k+3))/(4(k+1)(k+2)(k+3)) + 1/((k+1)(k+2)(k+3)). Agora, vamos somar as frações: (k(k+3) + 4)/(4(k+1)(k+2)(k+3)). Vamos simplificar essa expressão: (k2 + 3k + 4)/(4(k+1)(k+2)(k+3)). Agora, vamos fatorar o numerador: ((k+1)(k+3))/(4(k+1)(k+2)(k+3)). Podemos simplificar o termo comum (k+1)(k+3): (k+1)(k+3)/(4(k+1)(k+2)(k+3)). Agora, vamos cancelar o termo comum (k+1)(k+3) no numerador e denominador: 1/(4(k+2)(k+3)). E finalmente, vamos simplificar o denominador: 1/(4(k+2)(k+3)) = (k+1)/(4(k+1)(k+2)(k+3)). Portanto, provamos que a igualdade é verdadeira para k+1. Com isso, concluímos que a igualdade é verdadeira para todo número natural n, utilizando o Princípio da Indução.