A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto p(2,3,-1) e a reta r: x=3+...

Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço, podemos usar a fórmula da distância. Nesse caso, temos o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t, y=-2t, z=1-2t. A fórmula da distância entre um ponto e uma reta é dada por: d = |AP x u| / |u| Onde AP é o vetor que vai do ponto A na reta até o ponto P, e u é o vetor diretor da reta. Vamos calcular: Primeiro, encontramos o vetor AP: AP = P - A = (2,3,-1) - (3,0,1) = (-1,3,-2) Agora, encontramos o vetor diretor da reta r: u = (1,-2,-2) Agora, calculamos o produto vetorial AP x u: AP x u = (-1,3,-2) x (1,-2,-2) = (-6,-4,-1) Em seguida, calculamos o módulo do vetor AP x u: |AP x u| = √((-6)^2 + (-4)^2 + (-1)^2) = √(36 + 16 + 1) = √53 Agora, calculamos o módulo do vetor diretor da reta u: |u| = √(1^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 Por fim, substituímos os valores na fórmula da distância: d = |AP x u| / |u| = √53 / 3 Portanto, a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t, y=-2t, z=1-2t é √53/3.