(2,0) Dada a função definida por f(x) = − 3x3 + 2x2 + 4x− 3. (a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. (b) Encontre os ...

(a) Para determinar os intervalos em que a função f é crescente ou decrescente, precisamos analisar os pontos críticos da função. Para isso, devemos encontrar os valores de x em que a derivada de f(x) é igual a zero ou não está definida. Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x): f'(x) = -9x^2 + 4x + 4 Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: -9x^2 + 4x + 4 = 0 Podemos resolver essa equação usando fatoração, completando o quadrado ou utilizando a fórmula de Bhaskara. Vou utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a Aplicando a fórmula, encontramos as raízes: x = (-4 ± √(4^2 - 4*(-9)*4)) / (2*(-9)) x = (-4 ± √(16 + 144)) / (-18) x = (-4 ± √160) / (-18) x = (-4 ± 4√10) / (-18) x = (2 ± 2√10) / 9 Portanto, temos dois pontos críticos: x = (2 + 2√10) / 9 e x = (2 - 2√10) / 9. Agora, vamos analisar os intervalos entre esses pontos críticos. Podemos escolher um valor de x em cada intervalo e verificar o sinal da derivada para determinar se a função é crescente ou decrescente nesse intervalo. (b) Para encontrar os valores máximo e mínimo locais de f, precisamos analisar os pontos críticos e os pontos de inflexão da função. Os pontos críticos já foram encontrados na parte (a). Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de f(x): f''(x) = -18x + 4 Agora, igualamos a segunda derivada a zero e resolvemos a equação: -18x + 4 = 0 -18x = -4 x = 4/18 x = 2/9 Portanto, temos um ponto de inflexão em x = 2/9. (c) Para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, devemos analisar o sinal da segunda derivada nos intervalos entre os pontos críticos e o ponto de inflexão. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.