BÔNUS 2: Usando Prova por Indução, prove que “Seja f(x) = k*rx uma progressão geométrica com r ≠ 1, mostre que nΣi=0 k*ri = k*r(n+1) – k / r-1, par...

Para provar essa afirmação usando prova por indução, vamos seguir os passos: Passo 1: Base da indução Vamos começar mostrando que a fórmula é válida para n = 0. Quando n = 0, temos: Σi=0 k*ri = k*r0 = k*1 = k Por outro lado, k*r(n+1) - k / r-1 = k*r(0+1) - k / r-1 = k*r - k / r-1 = k*(r - 1) / (r - 1) = k Portanto, a fórmula é válida para n = 0. Passo 2: Hipótese de indução Assumimos que a fórmula é válida para um certo valor de n, ou seja: Σi=0 k*ri = k*r(n+1) - k / r-1 Passo 3: Passo de indução Vamos mostrar que a fórmula também é válida para n+1. Quando n = n+1, temos: Σi=0 k*ri = k*r(n+1) - k / r-1 + k*r(n+1) Agora, vamos simplificar essa expressão: Σi=0 k*ri = k*r(n+1) - k / r-1 + k*r(n+1) = k*r(n+1) - k / r-1 + k*r(n+1)*(r-1) / (r-1) = k*r(n+1) - k + k*r(n+1)*(r-1) / (r-1) = k*r(n+1) - k + k*r(n+1)*r - k*r(n+1) / (r-1) = k*r(n+1)*r - k / (r-1) = k*r(n+2) - k / (r-1) Portanto, a fórmula também é válida para n+1. Conclusão: Com base no princípio da indução matemática, podemos concluir que a fórmula nΣi=0 k*ri = k*r(n+1) - k / r-1 é válida para todo n natural.