Exerćıcio 5: Use integral dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas y = 4 − x2, x ≤ 0, y − x = 2 e x = 0.

Para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas y = 4 - x^2, x ≤ 0, y - x = 2 e x = 0, podemos utilizar a integral dupla. Vamos dividir a região em duas partes: a área abaixo da curva y = 4 - x^2 e acima da reta y - x = 2, e a área abaixo da reta y - x = 2 e à esquerda do eixo y. Primeiro, vamos calcular a área abaixo da curva y = 4 - x^2 e acima da reta y - x = 2. Para isso, precisamos encontrar os limites de integração. A curva y = 4 - x^2 intersecta a reta y - x = 2 quando 4 - x^2 = 2 + x, ou seja, quando x^2 + x - 2 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes x = -2 e x = 1. Agora, podemos escrever a integral dupla para calcular a área dessa região: A = ∬R dA Onde R é a região delimitada pelas curvas. Os limites de integração para x são -2 e 1, e para y são 2 + x e 4 - x^2. Portanto, a integral dupla fica: A = ∫[-2, 1] ∫[2 + x, 4 - x^2] dy dx Agora, basta calcular essa integral para obter a área da região.