Exerćıcio 19: Calcule ∫∫ D y dx dy, onde D é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

Para calcular a integral dupla ∫∫ D y dx dy, onde D é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), podemos dividir a região em duas partes: um triângulo retângulo e um triângulo isósceles. Começando pelo triângulo retângulo, podemos escrever a integral como: ∫∫ D y dx dy = ∫∫ T1 y dx dy + ∫∫ T2 y dx dy Onde T1 é o triângulo retângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1), e T2 é o triângulo isósceles com vértices (0, 1), (1, 0) e (1, 1). Para o triângulo retângulo T1, podemos escrever as integrais como: ∫∫ T1 y dx dy = ∫[0, 1] ∫[0, y] y dx dy Resolvendo a integral interna em relação a x, temos: ∫[0, 1] y [x] [0, y] dy = ∫[0, 1] y^2 dy Integrando em relação a y, temos: ∫[0, 1] y^2 dy = [y^3/3] [0, 1] = 1/3 Agora, para o triângulo isósceles T2, podemos escrever as integrais como: ∫∫ T2 y dx dy = ∫[1, 0] ∫[0, 1-y] y dx dy Resolvendo a integral interna em relação a x, temos: ∫[1, 0] y [x] [0, 1-y] dy = ∫[1, 0] y(1-y) dy Integrando em relação a y, temos: ∫[1, 0] y - y^2 dy = [y^2/2 - y^3/3] [1, 0] = 1/6 Somando as duas partes, temos: ∫∫ D y dx dy = 1/3 + 1/6 = 1/2 Portanto, o valor da integral dupla ∫∫ D y dx dy é igual a 1/2.