Problema 5. Num quadrilátero convexo ABCD a diagonal BD não é bissectriz do ângulo ÂBC nem do ângulo ĈDA. Um ponto P no interior de ABCD sat...

O problema 5 trata de um quadrilátero convexo ABCD, onde a diagonal BD não é bissectriz do ângulo ABC nem do ângulo CDA. Um ponto P no interior de ABCD satisfaz 6PBC = 6DBA e 6PDC = 6BDA. O objetivo é provar que os vértices do quadrilátero ABCD pertencem a uma mesma circunferência se e somente se AP = CP. Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice. Se os vértices do quadrilátero ABCD pertencem a uma mesma circunferência, então os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Portanto, temos: 6PBC = 6DBA (1) 6PDC = 6BDA (2) Além disso, como a diagonal BD não é bissectriz dos ângulos ABC e CDA, temos: 6ABC ≠ 6CBD (3) 6CDA ≠ 6CDB (4) Agora, vamos analisar as possibilidades: Se AP = CP: Nesse caso, podemos observar que os triângulos APB e CPD são congruentes, pois possuem um lado (BD) em comum e os ângulos correspondentes são congruentes (6PBC = 6DBA e 6PDC = 6BDA). Portanto, os triângulos APB e CPD são congruentes pelo caso LAL (lado-ângulo-lado). Assim, os ângulos APB e CPD também são congruentes. Como os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, temos: 6ABC = 6CPD (5) 6CBD = 6APB (6) A partir das igualdades (3), (4), (5) e (6), podemos concluir que os ângulos ABC e CBD são congruentes, assim como os ângulos CDA e CDB. Portanto, os vértices do quadrilátero ABCD pertencem a uma mesma circunferência. Se AP ≠ CP: Nesse caso, não podemos afirmar que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Portanto, os vértices do quadrilátero ABCD não pertencem a uma mesma circunferência. Assim, provamos que os vértices do quadrilátero ABCD pertencem a uma mesma circunferência se e somente se AP = CP.