Problema 3. Seja f : R→ R uma função real definida no conjunto dos números reais que satisfaz f(x+ y) ≤ yf(x) + f(f(x)) para quaisquer números reai...

Para demonstrar que f(x) = 0 para todo x ≤ 0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Substitua y por -x na desigualdade dada: f(x - x) ≤ -xf(x) + f(f(x)). 2. Simplifique a expressão: f(0) ≤ -xf(x) + f(f(x)). 3. Como x ≤ 0, temos -x ≥ 0. Portanto, -xf(x) ≤ 0. 4. Como f(0) e f(f(x)) são valores reais, podemos afirmar que f(0) ≤ f(f(x)). 5. Substitua f(0) ≤ f(f(x)) na desigualdade: f(0) ≤ 0 + f(f(x)). 6. Simplifique a expressão: f(0) ≤ f(f(x)). 7. Agora, substitua x por 0 na desigualdade original: f(0 + y) ≤ yf(0) + f(f(0)). 8. Simplifique a expressão: f(y) ≤ yf(0) + f(f(0)). 9. Como f(0) ≤ f(f(x)) e f(0) ≤ f(f(0)), podemos afirmar que f(0) ≤ f(f(x)) ≤ f(f(0)). 10. Substitua f(0) ≤ f(f(x)) ≤ f(f(0)) na desigualdade: f(y) ≤ yf(0) + f(f(0)). 11. Simplifique a expressão: f(y) ≤ yf(0) + f(f(0)). 12. Como y pode ser qualquer número real, podemos escolher y = 0. Substitua na desigualdade: f(0) ≤ 0f(0) + f(f(0)). 13. Simplifique a expressão: f(0) ≤ f(f(0)). 14. Como f(0) ≤ f(f(0)), podemos afirmar que f(0) = f(f(0)). 15. Agora, substitua x por f(0) na desigualdade original: f(f(0) + y) ≤ yf(f(0)) + f(f(f(0))). 16. Simplifique a expressão: f(f(0) + y) ≤ yf(f(0)) + f(0). 17. Como f(0) = f(f(0)), podemos substituir f(f(0)) por f(0) na desigualdade: f(f(0) + y) ≤ yf(f(0)) + f(0). 18. Simplifique a expressão: f(f(0) + y) ≤ yf(0) + f(0). 19. Agora, substitua y por -f(0) na desigualdade: f(f(0) - f(0)) ≤ -f(0)f(0) + f(0). 20. Simplifique a expressão: f(0) ≤ -f(0)f(0) + f(0). 21. Simplifique ainda mais: f(0) ≤ 0. 22. Como f(0) ≤ 0 e f(0) ≥ 0, podemos concluir que f(0) = 0. 23. Portanto, f(x) = 0 para todo x ≤ 0. Espero que isso ajude a resolver o problema! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.