Problema 2. Seja n ≥ 3 um inteiro e sejam a2, a3, . . . , an números reais positivos tais que a2a3 · · · an = 1. Prove que (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · ·...

Para provar que (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · · · (1 + an)n > nn, podemos usar a desigualdade de AM-GM (Média Aritmética-Geométrica). Primeiro, vamos aplicar a desigualdade de AM-GM para cada termo individualmente: (1 + a2) ≥ 2√(1 * a2) = 2√a2 = 2a (1 + a3) ≥ 2√(1 * a3) = 2√a3 = 2a√a ... (1 + an) ≥ 2√(1 * an) = 2√an = 2a(n/2) Agora, vamos multiplicar todas as desigualdades obtidas: (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · · · (1 + an)n ≥ (2a)(2a√a)(2a√a2)...(2a(n/2)) = (2a)^(1 + 2 + 3 + ... + n/2) * (√a * √a2 * ... * √an) Observe que a soma dos números de 1 a n/2 é igual a (n/2)(n/2 + 1)/2. Portanto, temos: (2a)^(1 + 2 + 3 + ... + n/2) = (2a)^(n/2)(n/2 + 1)/2 = (2a)^(n(n/2 + 1)/4) E (√a * √a2 * ... * √an) = √(a * a2 * ... * an) = √1 = 1 Substituindo esses valores na desigualdade, temos: (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · · · (1 + an)n ≥ (2a)^(n(n/2 + 1)/4) Agora, vamos provar que (2a)^(n(n/2 + 1)/4) > nn: (2a)^(n(n/2 + 1)/4) > nn 2^(n(n/2 + 1)/4) * a^(n(n/2 + 1)/4) > nn Agora, vamos provar que 2^(n(n/2 + 1)/4) > n: 2^(n(n/2 + 1)/4) = 2^(n/4 * (n/2 + 1)) = (2^(n/4))^(n/2 + 1) > n^(n/2 + 1) > n^n E a^(n(n/2 + 1)/4) > 1, pois a é um número real positivo. Portanto, temos: (2a)^(n(n/2 + 1)/4) > nn (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · · · (1 + an)n > nn Assim, provamos que (1 + a2) 2(1 + a3) 3 · · · (1 + an)n > nn.