As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo ...

Para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície, podemos utilizar o gradiente da função que define a superfície. No caso da superfície S descrita pela equação z = 3x² + y², o gradiente é dado por: ∇f(x,y,z) = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z ) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂f/∂x = 6x ∂f/∂y = 2y ∂f/∂z = 1 Agora, vamos encontrar o gradiente no ponto P(0,-1,2): ∇f(0,-1,2) = ( 6(0), 2(-1), 1 ) = ( 0, -2, 1 ) O vetor normal ao plano tangente é o gradiente da função no ponto P. Portanto, o vetor normal é (0, -2, 1). A equação do plano tangente é dada por: 0(x - 0) - 2(y - (-1)) + 1(z - 2) = 0 Simplificando, temos: -2y + z - 4 = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra c) -2y + z - 4 = 0.

Para encontrar a equação do plano tangente à superfície �

S descrita pela equação �=3�2+�2

z=3x2

+y2

no ponto �(0,−1,2)

P(0,−1,2), precisamos calcular o vetor gradiente da função �(�,�,�)=�−3�2−�2

f(x,y,z)=z−3x2

−y2

no ponto �

P. O vetor gradiente será o vetor normal ao plano tangente.

Calculando as derivadas parciais de �

f em relação a �

x, �

y e �

z:

∂�∂�=−6�,∂�∂�=−2�,∂�∂�=1.

∂x

∂f

​=−6x,∂y

∂f

​=−2y,∂z

∂f

​=1.

Substituindo as coordenadas do ponto �(0,−1,2)

P(0,−1,2) nas derivadas parciais:

∇�(0,−1,2)=(0,2,1).

∇f(0,−1,2)=(0,2,1).

Portanto, o vetor gradiente no ponto �

P é (0,2,1)

(0,2,1), que é o vetor normal ao plano tangente.

A equação do plano tangente geralmente é da forma ��+��+��+�=0

Ax+By+Cz+D=0, onde (�,�,�)

(A,B,C) é o vetor normal ao plano e �

D é uma constante. Substituindo as coordenadas do ponto �

P na equação do plano:

0⋅�+2⋅�+1⋅�+�=0⇒2�+�+�=0.

0⋅x+2⋅y+1⋅z+D=0⇒2y+z+D=0.

Para satisfazer a condição de que o plano tangente passe pelo ponto �(0,−1,2)

P(0,−1,2), podemos substituir essas coordenadas na equação acima:

2⋅(−1)+2+�=0⇒−2+2+�=0⇒�=0.

2⋅(−1)+2+D=0⇒−2+2+D=0⇒D=0.

Portanto, a equação do plano tangente é:

2�+�=0.

2y+z=0.

Comparando essa equação com as alternativas fornecidas:

a) 3�+2�+�=0

3x+2y+z=0 - Não corresponde à equação correta.

b) �−�+2=0

y−z+2=0 - Não corresponde à equação correta.

c) −2�+�−4=0

−2y+z−4=0 - Não corresponde à equação correta.

d) �−2�−�+4=0

x−2y−z+4=0 - Não corresponde à equação correta.

e) 6�+2�+1=0

6x+2y+1=0 - Não corresponde à equação correta.

Portanto, nenhuma das alternativas fornecidas corresponde à equação correta do plano tangente. A resposta correta é a equação que calculamos: 2�+�=0

2y+z=0.