Assinale a alternativa que apresenta o resultado da expressão (cotg^2 x+1)*(cos^2 x-1),para x≠kπ Questão 10 Resposta a. -1 b. 0 c. 1 d. 1/2

A expressão é: (cotg^2 x + 1) * (cos^2 x - 1)

Lembrando que cotg(x) é o mesmo que 1/tan(x), e que cos^2(x) - sin^2(x) = 1 (identidade pitagórica), podemos substituir as expressões:

(cotg^2 x + 1) * (cos^2 x - 1)

= (1/tan^2 x + 1) * (cos^2 x - 1)

= (sec^2 x) * (cos^2 x - 1) (já que sec^2 x = 1/tan^2 x)

Agora, usando a identidade pitagórica, podemos substituir cos^2 x - 1 por sin^2 x:

(sec^2 x) * (cos^2 x - 1)

= (sec^2 x) * (1 - sin^2 x)

= sec^2 x * cos^2 x

Agora, usando a identidade trigonométrica sec^2 x = 1 + tan^2 x, podemos substituir sec^2 x:

sec^2 x * cos^2 x

= (1 + tan^2 x) * cos^2 x

Agora, distribuindo o cos^2 x na expressão:

(1 + tan^2 x) * cos^2 x

= cos^2 x + tan^2 x * cos^2 x

Agora, usando a identidade trigonométrica tan^2 x + 1 = sec^2 x, podemos substituir a parte de tan^2 x:

cos^2 x + tan^2 x * cos^2 x

= cos^2 x + (sec^2 x - 1) * cos^2 x

Distribuindo o cos^2 x na expressão novamente:

cos^2 x + (sec^2 x - 1) * cos^2 x

= cos^2 x + sec^2 x * cos^2 x - cos^2 x

Aqui, as partes de cos^2 x se cancelam:

cos^2 x + sec^2 x * cos^2 x - cos^2 x

= sec^2 x * cos^2 x

Agora, lembrando que sec^2 x = 1/cos^2 x, podemos substituir sec^2 x:

sec^2 x * cos^2 x

= (1/cos^2 x) * cos^2 x

= 1

Portanto, o resultado da expressão é 1. A alternativa correta é:

c. 1

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alternativa a. -1.